本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

1643. 旅行商问题

原题传送：AcWing 1643. 旅行商问题

“旅行商问题”是这样一个问题：“给出一个城市列表以及每对城市之间的距离，访问每个城市并返回原城市的最短路线是什么？”

这是组合优化中的一个NP难题，在运筹学和理论计算机科学中十分重要。

在此问题中，请你从给定的路径列表中找到最接近旅行商问题的解的路径。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$ ，分别表示城市数量以及无向图中边的数量。

接下来 $M$ 行，每行以City1 City2 Dist格式描述一条边，其中城市编号从 $1$ 到 $N$ ，Dist为正且不超过 $100$ 。

再一行包含一个整数 $K$ ，表示给定路径的数量。

接下来 $K$ 行描述路径，格式为：

$n$ $C_1$ $C_2$ … $C_n$

$n$ 表示给定路径经过的城市的数目， $C_i$ 是路径中经过的城市的编号。

输出格式

对于每个路径，在一行中输出Path X: TotalDist (Description)。

其中X是路径编号（从 $1$ 开始），TotalDist 表示路径总距离（如果距离不存在，则输出 NA），Description 是下列中的一项：

TS simple cycle，如果这是一个访问每个城市的简单回路。
TS cycle，如果这是一个访问每个城市的回路，但不是简单回路。
Not a TS cycle，如果这不是一个访问了每个城市的回路。

最后一行，输出Shortest Dist(X) = TotalDist，X 是最接近旅行商问题解决方案的回路编号，TotalDist 是其总距离。

保证有唯一解。

数据范围

$2<N \le 200$ , $N-1 \le M \le \frac{N(N-1)}{2}$ ， $1 \le K \le 1000$ , $1 \le n \le 300$

输入样例：

6 10
6 2 1
3 4 1
1 5 1
2 5 1
3 1 8
4 1 6
1 6 1
6 3 1
1 2 1
4 5 1
7
7 5 1 4 3 6 2 5
7 6 1 3 4 5 2 6
6 5 1 4 3 6 2
9 6 2 1 6 3 4 5 2 6
4 1 2 5 1
7 6 1 2 5 4 3 1
7 6 3 2 5 4 1 6

输出样例：

Path 1: 11 (TS simple cycle)
Path 2: 13 (TS simple cycle)
Path 3: 10 (Not a TS cycle)
Path 4: 8 (TS cycle)
Path 5: 3 (Not a TS cycle)
Path 6: 13 (Not a TS cycle)
Path 7: NA (Not a TS cycle)
Shortest Dist(4) = 8

思路：

如果访问结点之间有无穷大的边、没有访问所有城市或者起点不等于终点，说明不是一个访问了每个城市的回路，如果输入点数不是点数+1说明不是简单回路，输出回路中总距离最小的路径。

题解：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 210, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N], vers[310];
bool st[N];

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	
	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	for(int i = 0; i < m; i++)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		g[a][b] = g[b][a] = c;
	}
	
	int k;
	scanf("%d", &k);
	
	int min_dist = INF, min_id;
	for(int T = 1; T <= k; T++)
	{
		int cnt;
		scanf("%d", &cnt);
		for(int i = 0; i < cnt; i++) scanf("%d", &vers[i]);
		
		int sum = 0;
		bool success = true;
		memset(st, 0, sizeof st);
		for(int i = 0; i + 1 < cnt; i++)
		{
			int a = vers[i], b = vers[i + 1];
			if(g[a][b] == INF)
			{
				sum = -1;
				success = false;
				break;
			}
			else sum += g[a][b];
			st[a] = true;
		}
		
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if(!st[i])
			{
				success = false;
				break;
			}
		}
		
		if(vers[0] != vers[cnt - 1]) success = false;
		
		if(sum == -1) printf("Path %d: NA (Not a TS cycle)\n", T);
		else
		{
			if(!success) printf("Path %d: %d (Not a TS cycle)\n", T, sum);
			else
			{
				if(cnt == n + 1) printf("Path %d: %d (TS simple cycle)\n", T, sum);
				else 	printf("Path %d: %d (TS cycle)\n", T, sum);
				
				if(min_dist > sum)
				{
					min_dist = sum;
					min_id = T;
				}
			}
		}
	}
	
	printf("Shortest Dist(%d) = %d\n", min_id, min_dist);
	
	return 0;
}

【题解】【AcWing】1643. 旅行商问题