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计算矩阵连乘积

描述

在科学计算中经常要计算矩阵的乘积。矩阵A和B可乘的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数。若A是一个p×q的矩阵，B是一个q×r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p×r的矩阵。计算C=AB总共需要p×q×r次乘法。 现在的问题是，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}。其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。 要求计算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An最少需要多少次乘法。

输入

输入数据的第一行是一个整树n（0 < n <= 10），表示矩阵的个数。 接下来的n行每行两个整数p,q( 0 < p,q < 100)，分别表示一个矩阵的行数和列数。

输出

输出一个整数：计算连乘积最少需要乘法的次数。

输入样例

10 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11

输出样例

438

思路

设dp[i][j]表示合并第i个矩阵到第j个矩阵所需要的最少的乘法次数。初始化dp为0x3f3f3f3f（即初始化为无穷大）。dp[i][i]=0(所有的i-i的合并的乘法次数为0).然后就开始考虑动态规划的转移方程：先枚举长度len （len from 2 to n），合并的长度最短为2，最长为n。然后嵌套枚举左边界l（l from 1 to n），与此同时由len和l就可以得到r=l+len-1.于是就可以考虑dp[l][r] 的转移方程了，要求l-r的合并耗费的乘法次数，就要考虑中间枚举一个点mid，那么合并l-r的乘法次数就是合并l-mid与合并mid+1 - r的乘法次数之和再加上合并新的左右两个矩阵，它们的乘法次数是p[l] * q[m] * q[r]。枚举l，r之间的一个矩阵mid(l<=mid<=mid-1)，dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][mid+dp[mid+1][r]+ p[l] * q[m] * q[r] ).最终答案就是dp[1][n];

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000+50;
int n,p[maxn],q[maxn],dp[maxn][maxn];
int min(int x,int y){
	if(x<=y)return x;
	return y;
}
int main(){
	cin>>n;
	memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>p[i]>>q[i];
		dp[i][i]=0;
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int l=1;l<=n;l++){
			int r=l+len-1;
			for(int m=l;m<=r-1;m++){
				dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][m]+dp[m+1][r]+p[l]*q[m]*q[r]);
			}
		}
	}
	cout<<dp[1][n]<<endl;
	return 0;
}