<数据结构>二叉树

天影云光
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目前在不断更新《数据结构算法》
未来会讲到《C++语言》，《Linux系统编程》，《Linux网络编程》,《MySQL数据库》等。
期待系统学习编程的小伙伴可以关注我！

1.二叉树概念及结构

1.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

  1. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
  2. 或者为空

image-20220412102404664 从上图可以看出：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点

  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的 image-20220412102424012

1.2现实中的二叉树：

image-20220412102451775

正常人：这树长得真对称，真标准！ 程序员：卧槽，这不是满二叉树吗？

1.3 特殊的二叉树：

  1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2的K次方减1 ，则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树的前K-1层是满的，最后一层不满，但最后一层从左往右是连续的。

image-20220412102511859

1.4 二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的（i-1）次方个结点。

  2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .

  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2＋1

  4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，image-20220412105740161(ps： 是log以2为底，n+1为对数)

  5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

  • 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

  • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

  • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

1.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

  1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。 image-20220412102532740

  1. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。

==链式结构又分为二叉链和三叉链==，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链 image-20220412102548370 image-20220412102556728

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}；
  1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ） A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199
  2. 下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ） A 非完全二叉树 B 堆 C 队列 D 栈
  3. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ） A n B n+1 C n-1 D n/2
  4. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ） A 11 B 10 C 8 D 12
  5. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（） A 383 B 384 C 385 D 386

答案：

  1. B（n0 = n2 +1 = 199+1 = 200）规则请见二叉树的性质第三条
  2. A
  3. A 正经解法： 假设度为0 有n0个 假设度为1 有n1个 假设度为2 有n2个 2n = n0+n1+n2 = n0 + n1 + n0-1 = 2*n0 + n1-1 完全二叉树n1为1或0 因为这个个数是整数，上面公式要满足，n1只能为1 解得n0 = n 取巧解法： 假设n = 1 总共2个节点，其中叶子节点只有1个，答案是n
  4. B image.png 设高度为h 最多：2^h-1 最少：2^(h-1)-1+1（最后一层至少要有1个) 套个数据进去试
  5. B 跟第三题方法一样

这章初步介绍了数和二叉树的概念，以后会经常用到其中的部分概念，概念是一切的基础，概念不清更别提做出题了，大家加油！

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