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回溯不能没有剪枝，正如西方不能没有耶路撒冷（逃
即使是最简单的子集问题，使用回溯算法时复杂度都达到了比指数阶还要高的阶。而且是实实在在的达到了，或者说，对于先前的子集算法，其时间复杂度是 。
这是一件恐怖的事，当数据过大时，我们等不起。
然而，在实际的问题中，它的实际背景给了我们一些优化的空间。让我们可以把真正要计算的结果集合或者说结果空间缩小。
例如经典的0，1背包问题。
现在的我们已经会了回溯方法，其实也就是任意层的暴力for循环枚举。对于01背包回溯要做的就是决定每个物品选或者不选。
这就和我们的子集问题是思路了。仅仅是这个思路的话，那没什么好说的，记得在最后一层计算当前的最大值并及时的调整最大值，同时可以保留最大值的解决方案。
在这里，我们重点考虑下优化，避免太多不必要的搜索。还记得我们先前说的对于子集类问题而言，选和不选是不完全一样的吗？
在这个问题里，选择意味着总价值增大的同时，重量也可能增大。重量如果大于给定的限制时，那么就没有必要继续搜索了，可以直接退出。
而如果不选，铁定是不会超过给定的限制的。这就是不一样的情况了。
但是从这方面来讲如果一直不选，到最后那怕选了可能也不会比结果更好了，但是要检测剩余可能的最大收益，也并没有那么简单，所以我们做一个额外的处理，把它当成可以分割的物品，采用贪心方法收集。
具体到代码如下：
def knapsack(pairs, M):
# pairs: [(v, w), (v, w), ...]
n = len(pairs)
# sort pairs by v/w
pairs.sort(key=lambda x: x[0] / x[1], reverse=True)
X, BX, fv = [0] * n, [], -1
def Rest(t, rc): # 剩余部分效益
n, rv = len(pairs), 0
for i in range(t, n):
if pairs[i][1] <= rc:
rv += pairs[i][0]
rc -= pairs[i][1]
if t < n:
rv += rc * pairs[t][0] / pairs[t][1]
return rv
def Knap(t, cv, cw):
nonlocal X, BX, fv
if t >= n and cv > fv:
fv, BX = cv, X[:]
elif t < n:
X[t] = 1
if cw + pairs[t][1] <= M:
Knap(t + 1, cv + pairs[t][0], cw + pairs[t][1])
X[t] = 0
if cv + Rest(t + 1, M - cw) > fv:
Knap(t + 1, cv, cw)
Knap(0, 0, 0)
return fv,[pairs[i] for i in range(len(pairs)) if BX[i]]
我们通过排序让贪心算法可以使用，但是这回改变物品原来的顺序，因此我们最终返回的结果是具体的物品。这样我们把选和不选做了不同的判断、剪枝。让复杂度一定程度上降低了，尽管上界仍然是相当高的。但是实际上的输入会有一定程度的优化。
