01背包问题题目描述考题式描述有N件物品和一个最多能背重量为W的背包（也就是说背包的容量是W），第i件物品的重量是w

题目描述

考题式描述

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包（也就是说背包的容量是W），第i件物品的重量是weight[i]，其价值是value[i]，每件物品只能背一次，求解将哪些物品放到背包里面物品价值的总和最大。

简易版描述

贼，夜入豪宅，可偷之物甚多，而负重能力有限，偷哪些才更加不枉此行？

题目举例


物品编号	1	2	3	4
重量	2	1	3	2
价值	3	2	4	2
背包容量为5

解题思路

动态规划

根据举例中，直接找出答案比较困难，通过将其拆分成子问题，先从1个物品，背包容量为1时开始递推，最终找到答案。

确定动态规划公式：

编号前i个物品，背包容量为j时，所能取最大价值为 dp[i][j]

那么开始确定递推关系：

当前背包容量为j，当前物品的编号为i，我们要不要将物品i放入包内

当前物品编号i不放入背包中，dp[i][j] = dp[i-1][j]
- 解释：不放入就是之前的值
当前物品编号i放入背包中，dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
- 剩余空间能放的最大价值加上放入就是当前的价值
- 如编号为2时，编号2的重量为1，放入后空间还剩5-1=4的空间，自然要根据前面填表中编号为1容量为4的最大值是多少算进去，方可总的最大

综上：在以上两种情况中选择最优的

dp[i][j] = Math.max( dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]]+value[i] )

对样例进行填表

物品编号\容量	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	0	3	3	3	3
2	2	3	5	5	5
3	2	3	5	6	7
4	2	3	5	6	7

编程代码以Java为例

import java.util.Arrays;

public class 背包问题 {
    public static void main(String[] args) {
        /**
         * 价值：v = {3, 2, 4, 2}
         * 重量：w = {2, 1, 3, 2}
         * 背包容量：C = 5
         */
        int[] w = {2,1,3,2};

        int[] v = {3,2,4,2};

        int C = 5;

        int len = w.length;

        int[][] bags = new int[5][C+1];

        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            for (int j = 0; j <= C; j++) {
                //重量大于背包容量则不放入
                if (w[i - 1] > j) {
                    bags[i][j] = bags[i-1][j];
                }else {
                    bags[i][j] = Math.max(bags[i-1][j],bags[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);
                }
            }
        }

        nums(bags);
    }

    static void nums(int[][] nums){
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(nums[i]));
        }
    }
}

01背包问题