Dynamic Programming学习笔记 (34) - 统计全为1的正方形子矩阵 (力扣# 1277)

本题出自力扣题库第1277题。题面大意如下：

给定一个m*n 的矩阵，矩阵中的每个元素的值是0或1，返回其中完全由1组成的正方形子矩阵的个数。

示例：

输入：matrix =
[
  [0,1,1,1],
  [1,1,1,1],
  [0,1,1,1]
]
输出：15
解释： 
边长为 1 的正方形有 10 个。
边长为 2 的正方形有 4 个。
边长为 3 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 10 + 4 + 1 = 15.

题解：

本题属于矩阵类的DP应用，对于此类问题，需要画图以理解矩阵元素之间的关系。上面给出的示例可以画成如下的图形。

其中我们挑选标为A的这个元素用于分析，首先因为A是1，所以就多了一个边长为1的正方形，下来我们看A是否是边长为2的正方形的右下角呢？这取决于B，C，D三点是否都是1，然后，A是否是边长为3的正方形的右下角呢？这取决于B，C，D三点是否都是边长为2的正方形的右下角。由此类推，我们可得如下的DP表达式：

F(i, j) 
  = 0, matrix[i][j] = 0
  = 1 + min (F(i - 1), F(i - 1, j - 1), F(i, j- 1))

这里i和j是矩阵元素的下标，F(i, j) 返回的是该元素作为右下角的正方形的数量。我们使用双层循环依次对矩阵中的各个元素进行计算，而其总和就是问题的最终答案。

Java代码如下：

class Solution {
    public int countSquares(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        int m = matrix[0].length;

        int count = 0;

        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        for (int row = 1; row <= n; row++) {
            for (int col = 1; col <= m; col++) {
                if (matrix[row - 1][col - 1] == 1) {
                    int min = Math.min(dp[row - 1][col - 1], dp[row - 1][col]);
                    min = Math.min(min, dp[row][col - 1]);
                    dp[row][col] = 1 + min;
                    count += dp[row][col];
                }
            }
        }

        return count;
    }
}