01背包问题

奋斗菌
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什么是01背包问题？

  1. 有N个物品，容量是V的背包，每个物品有两个属性，体积Vi，价值Wi
  2. 每件物品最多只能用一次，可以是0次或者1次
  3. 求：在背包能装的下的情况下的最大价值是多少

题目

image.png

概念

  1. 01背包问题：N个物品，容量是V的背包，每个物品的属性包括：体积vi和价值wi，每件物品最多只能用一次 ，目标使得物品能被背包装得下，而且商品的最大价值达到最大
  2. 完全背包问题：每个物品有无限个，可以用无限次
  3. 多重背包问题：限制：每个物品最多有si个
    1. 优化版
    2. 朴素版
  4. 分组背包问题：物品有N组，每组里面有若干个物品，每组里面最多选一个

动态规划问题从两个角度考虑问题

image.png

  1. 状态表示 f(i, j)
    1. 要考虑一下，整个问题需要用几维的状态进行表示，每个状态的含义是什么
      1. 一般背包问题是两维的f(i, j)
        1. f(i, j)表示的集合是什么
          1. 所有选法（满足如下两个条件的所有选法）
          2. 条件
            1. 只从前i件物品里面选
            2. 选出来的物品的总体积<= j
        2. f(i, j)表示的集合的属性
          1. 属性一般有一下三种
            1. 最大值Max
            2. 最小值Min
            3. 元素的数量
  2. 状态计算(一般来说对应集合的划分)
    1. 如何一步步的将f(i, j)算出来
    2. 集合划分
      1. 概念：考虑一下如何将当前的集合划分成若干个更小的子集，使得每一个自己都可以算出来，都可以用前面更小的状态表示出来
      2. 原则：
        1. 不重复(求最大值的时候就可以重复，但是求个数一定不能重复)
        2. 不漏(一定要满足)
      3. 例子：以背包问题的集合划分为例image.png
        1. 将f(i,j)表示的所有的选法分成两大类
          1. 选法中不含i的
            1. 什么意思：所有从1~i中选，总体积不超过j，并且不包含i，等价于从1~i-1中选，总体积不超过j的最大值
            2. 表示：**f(i - 1, j)**
            3. 左边的最大值：**f(i - 1, j)**
          2. 选法中含i的
            1. 由于直接求不好求，所以我们用间接的方式来求，例如，小明是第一名，那么全班同学都减20分，小明还是第一名，下面曲线救国的思路就跟上面这个例子类似
            2. 从1~i中选，总体积不超过j，而且所选的物品里面包含第i个物品，等价于从1~i - 1中选物品，总体积不超过j - vi,最后再加上wi（第i个物品的价值）
            3. 右边的最大值：f(i - 1, j - vi) + wi
            4. 注意：包含i的这种情况不一定存在，要加一个条件进行判断if(j >= v[i])
          3. 然后f(i, j) = Max(f(i - 1, j),** **f(i - 1, j - vi) + wi)

f(i, j)的含义：从前i个物品里面选，总体积不超过j的总价值最大的选法

代码

二维的写法

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m ; //n：物品的个数，m：背包的容量
int v[N], w[N]; // v:物品的体积； w：物品的价值
int f[N][N]; // 状态

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i]; // 读入所有物品
    
    // f[0][1~m]:从0件物品里面挑选，价值是0，全局变量默认是0，所以就不用再写了
    // 从1开始枚举
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0 ; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; // 集合的左边
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
    
}

优化：一维的情况

image.png

  1. 发现：对f(i, j)来说，f(i)这一层只用到了f(i - 1)这一层，而且j层，只用到了j 跟j - vi，他们两者都是<=j的，没有说在j的两侧，所以我们可以用滚动数组来进行优化，下面看操作：
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m ; //n：物品的个数，m：背包的容量
int v[N], w[N]; // v:物品的体积； w：物品的价值
int f[N]; // 状态   // 修改1

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i]; // 读入所有物品
    
    // f[0][1~m]:从0件物品里面挑选，价值是0，全局变量默认是0，所以就不用再写了
    // 从1开始枚举
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m ; j >= v[i]; j--) // 修改3,j从v[i]开始循环，因为从0开始没有意义，if语句直接跳出来了，循环了很多次没有意义的if
        {                                // 从大到小枚举
            //f[j] = [j]; // 集合的左边  // 修改2，发现是一个恒等式，所以将它直接删掉计科
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); // 修改3
        }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
    
}
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