数据结构之排序(2)

小朱不猪
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数据结构之排序(2)

交换排序

冒泡排序：

       冒泡排序的基本思想是:从后往前（或从前往后）两两比较相邻元素的值，若为逆序（即A[i-1] >A[i])，则交换它们，直到序列比较完。我们称它为第一趟冒泡，结果是将最小的元素交换到待排序列的第一个位置（或将最大的元素交换到待排序列的最后一个位置)，关键字最小的元素如气泡一般逐渐往上“漂浮”直至“水面”(或关键字最大的元素如石头一般下沉至水底)。下一趟冒泡时，前一趟确定的最小元素不再参与比较,每趟冒泡的结果是把序列中的最小元素(或最大元素）放到了序列的最终位置……这样最多做n-1趟冒泡就能把所有元素排好序。

       下图所示为冒泡排序的过程，第一趟冒泡时: 27<49，不交换;13<27，不交换;76> 13,交换;97>13，交换;65 >13，交换;38>13，交换;49>13，交换。通过第一趟冒泡后，最小元素已交换到第一个位置，也是它的最终位置。第二趟冒泡时对剩余子序列采用同样方法进行排序，以此类推，到第五趟结束后没有发生交换，说明表已有序,冒泡排序结束。

image.png

冒泡排序代码如下：

void BubbleSort(ElemType A[],int n){
    for(i=0;i<n-1;i++){
        flag=false;
        for(j=n-1;j>i;i++){
            if(A[j-1]>A[j]){
                swap(A[j-1],A[j]);
                flag=true;
            }
        }
        if(flag==false)
            return;
    }
}

冒泡排序的性能分析如下:

       空间效率:仅使用了常数个辅助单元，因而空间复杂度为O(1)。

       时间效率:当初始序列有序时，显然第一趟冒泡后flag依然为false（本趟冒泡没有元素交换)，从而直接跳出循环，比较次数为n-1，移动次数为0，从而最好情况下的时间复杂度为O(n);当初始序列为逆序时，需要进行n-1趟排序，第i趟排序要进行n-i次关键字的比较，而且每次比较后都必须移动元素3次来交换元素位置。这种情况下，比较次数=∑i=1n−1\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)= n(n-1)/2，移动次数=∑i=1n−1\sum_{i=1}^{n-1}3(n-i)=3n(n-1)/2，从而，最坏情况下的时间复杂度为O(n2)，其平均时间复杂度也为O(n2)。

       稳定性;由于i>j且A[i]= A[i]时，不会发生交换，因此冒泡排序是一种稳定的排序方法。

快速排序

       快速排序的基本思想是基于分治法的:在待排序表L[1...n]中任取一个元素pivot作为枢轴（或基准，通常取首元素)，通过一趟排序将待排序表划分为独立的两部分L[1...k-1]和L[ k+1...n ]，使得L[1...k-1]中的所有元素小于pivot，L[k+1...n]中的所有元素大于等于pivot，则 pivot放在了其最终位置L(k)上，这个过程称为一趟快速排序（或一次划分)。然后分别递归地对两个子表重复上述过程，直至每部分内只有一个元素或空为止，即所有元素放在了其最终位置上。

       一趟快速排序的过程是一个交替搜索和交换的过程，下面通过实例来介绍，附设两个指针i和j，初值分别为low和 high，取第一个元素49为枢轴赋值到变量pivot。

       指针j从high往前搜索找到第一个小于枢轴的元素27，将27交换到i所指位置。

image.png

       指针i从low往后搜索找到第一个大于枢轴的元素65，将65交换到j所指位置。

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       指针j继续往前搜索找到小于枢轴的元素13，将13交换到i所指位置。

image.png

       指针i继续往后搜索找到大于枢轴的元素97，将97交换到j所指位置。

image.png

       指针j继续往前搜索小于枢轴的元素，直至i==j。

image.png

       此时，指针i(==j）之前的元素均小于49，指针i之后的元素均大于等于49，将49放在i所指位置即其最终位置，经过一趟划分，将原序列分割成了前后两个子序列。

image.png

       按照同样的方法对各子序列进行快速排序，若待排序列中只有一个元素，显然已有序。

image.png

       对算法的最好理解方式是手动地模拟一遍这些算法。

       假设划分算法已知，记为 Partition()，返回的是上述的k，注意到L(k)已在最终的位置，因此可以先对表进行划分，而后对两个表调用同样的排序操作。因此可以递归地调用快速排序算法进行排序，具体的程序结构如下:

void QuickSort(ElemType A[],int low,int high){
    if(low<high){
        int pivotpos=Partition(A,low,high);
        QuickSort(A,low,pivotpos-1);
        QuickSort(A,pivotpos+1,high);
    }
}

快速排序算法的性能分析如下:

       空间效率:由于快速排序是递归的，需要借助一个递归工作栈来保存每层递归调用的必要信息，其容量应与递归调用的最大深度一致。最好情况下为O(log2n);最坏情况下，因为要进行n-1次递归调用，所以栈的深度为O(n):平均情况下，栈的深度为O(log2n)。

       时间效率:快速排序的运行时间与划分是否对称有关，快速排序的最坏情况发生在两个区域分别包含n-1个元素和0个元素时，这种最大限度的不对称性若发生在每层递归上，即对应于初始排序表基本有序或基本逆序时，就得到最坏情况下的时间复杂度为O(n2)。

       稳定性:在划分算法中，若右端区间有两个关键字相同，且均小于基准值的记录，则在交换到左端区间后，它们的相对位置会发生变化，即快速排序是一种不稳定的排序方法。例如，表L={3,2,2}，经过一趟排序后L={2,2,3}，最终排序序列也是L={2,2,3}，显然，2与2的相对次序已发生了变化。

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