【C/C++】2212. 射箭比赛中的最大得分一起养成写作习惯！这是我参与「掘金日新计划 · 4 月更文挑战」的第26天

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题目链接：2212. 射箭比赛中的最大得分

题目描述

Alice 和 Bob 是一场射箭比赛中的对手。比赛规则如下：

Alice 先射 numArrows 支箭，然后 Bob 也射 numArrows 支箭。
分数按下述规则计算：
1. 箭靶有若干整数计分区域，范围从 0 到 11 （含 0 和 11）。
2. 箭靶上每个区域都对应一个得分 k（范围是 0 到 11），Alice 和 Bob 分别在得分 k 区域射中 ak 和 bk 支箭。如果 ak >= bk ，那么 Alice 得 k 分。如果 ak < bk ，则 Bob 得 k 分
3. 如果 ak == bk == 0 ，那么无人得到 k 分。

例如，Alice 和 Bob 都向计分为 11 的区域射 2 支箭，那么 Alice 得 11 分。如果 Alice 向计分为 11 的区域射 0 支箭，但 Bob 向同一个区域射 2 支箭，那么 Bob 得 11 分。

给你整数 numArrows 和一个长度为 12 的整数数组 aliceArrows ，该数组表示 Alice 射中 0 到 11 每个计分区域的箭数量。现在，Bob 想要尽可能 最大化 他所能获得的总分。

返回数组 bobArrows ，该数组表示 Bob 射中 0 到 11 每个计分区域的箭数量。且 bobArrows 的总和应当等于 numArrows 。

如果存在多种方法都可以使 Bob 获得最大总分，返回其中 任意一种 即可。

提示：

$1 \leqslant numArrows \leqslant 10^5$
aliceArrows.length == bobArrows.length == 12
$0 \leqslant aliceArrows[i], bobArrows[i] \leqslant numArrows$
sum(aliceArrows[i]) == numArrows

示例 1：

输入：numArrows = 9, aliceArrows = [1,1,0,1,0,0,2,1,0,1,2,0]
输出：[0,0,0,0,1,1,0,0,1,2,3,1]
解释：上表显示了比赛得分情况。
Bob 获得总分 4 + 5 + 8 + 9 + 10 + 11 = 47 。
可以证明 Bob 无法获得比 47 更高的分数。

示例 2：

输入：numArrows = 3, aliceArrows = [0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,2]
输出：[0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0]
解释：上表显示了比赛得分情况。
Bob 获得总分 8 + 9 + 10 = 27 。
可以证明 Bob 无法获得比 27 更高的分数。

整理题意

题目给定 numArrows 支箭和长度为 12 的整数数组 aliceArrows（下标从 0 开始），aliceArrows[i] 表示在得分区域 i 上 Alice 的箭数，我们需要帮助 Bob 计算最大总得分，对于任意一个得分区域 i ，需要大于 aliceArrows[i] 即可得到 i 分，现在问使用 numArrows 支箭最大能够得到多少分。

如果存在多种方法都可以使 Bob 获得最大总分，返回其中 任意一种 即可。

解题思路分析

习惯性动作，首先看题目数据范围，箭的数量最大为 $10^5$ ，得分区域为 12 个。

由于总共只有 12 个得分区域（0 到 11 分），对于每个得分区域有得分和不得分两种情况，那么总共就有 $2^{12}$ 种情况，总的情况数量较小，我们可以枚举所有可能的情况，分别判断每种情况对应的每个得分区域的得分情况和所需箭的总数，记录满足条件下的最大得分状态即可。

对于状态的枚举方法，可以选择 DFS 递归深搜枚举，由于总共有 $2^{12}$ 种情况，我们还可以想到使用 二进制枚举 的方法。对于二进制中第 i 位来说，0 表示在得分为 i 的区域中不得分，为 1 则代表在该区域得分。

枚举过程中维护最大得分以及最大得分所对应的状态，最后根据最大得分所对应的状态进行相应的答案输出即可。

具体实现

遍历 $[0, 2^{12})$ ，其中每个整数的二进制表示为一种得分状态。
对于每种得分状态我们需要判断所需的最少箭数，因为需要大于 aliceArrows[i] 即可得到 i 分，所以我们为了使用尽可能少的箭术，对于第 i 个区域，我们只需要使用 aliceArrows[i] + 1 支箭即可。
判断当前状态下最少使用的箭数量是否小于给定的 numArrows，当小于 numArrows 时表示满足条件，此时记录最大得分以及得分状态。
最后根据最大得分状态进行构造答案所需的箭数数组。

需要注意的是如果还有剩余的箭，我们需要将其添加到任意区域即可。

复杂度分析

时间复杂度： $O(n \times 2^n)$ ，其中 n 为箭靶的数量，在本题中 n = 12。所有的得分状态共有 $2^n$ 种，对于单个状态，判断是否可行以及维护最大得分的时间复杂度为 $O(n)$ 。
空间复杂度： $O(1)$ ，利用整数记录二进制状态以及最大得分情况仅需常数空间。

如果使用 DFS 递归做法，递归深度为箭靶的数量 n，需要 $O(n)$ 的空间复杂度。

代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> maximumBobPoints(int numArrows, vector<int>& aliceArrows) {
        int n = aliceArrows.size();
        //cnt 记录当前状态所需要的箭数量
        int cnt;
        //score 记录当前得分
        int score;
        //maxScore 记录最大得分
        int maxScore = 0;
        //state 记录最大得分情况下的 mask (二进制枚举状态)
        int state = 0;
        //枚举所有得分情况，用二进制枚举，0表示不得分，1表示得分
        for(int mask = 0; mask < (1 << n); mask++){
            cnt = 0;
            score = 0;
            for(int j = 0; j < n; j++){
                //当前状态下第j位为1表示Bob赢
                if((mask >> j) & 1){
                    //需要比Alice多一支箭
                    cnt += aliceArrows[n - j - 1] + 1;
                    //记录得分
                    score += (n - j - 1);
                }
            }
            //如果使用的箭小于总箭数，且得分更高就记录答案
            if(cnt <= numArrows && score > maxScore){
                maxScore = score;
                state = mask;
            }
        }
        //输出的答案数组
        vector<int> ans;
        ans.clear();
        ans.resize(n);
        //处理最后得到的最大分数所对应的答案
        for(int i = 0; i < n; i++){
            //该得分区域Bob获胜得分
            if((state >> i) & 1){
                //记录答案并将总的箭数减去相应的值
                ans[n - i - 1] = aliceArrows[n - i - 1] + 1;
                numArrows -= ans[n - i - 1];
            }
            //不得分区域不射箭
            else ans[n - i - 1] = 0;
        }
        //如果有剩余的箭就全部放在任意一块区域都可
        ans[0] += numArrows;
        return ans;
    }
};

总结

该题核心思路在于 枚举状态 ，采用二进制枚举的方法可以使得空间复杂度降为 O(1)，在情况数量较小的情况下，我们可以使用更优的二进制枚举方法进行枚举。更一般的，二进制枚举是在状态为 2 的情况下使用，即选或不选、得分或不得分等，我们可以推广到三进制、四进制……等更多的情况下可应对更多不同的情形。

结束语

每个人的心里，都藏着一个了不起的自己。只要你不颓废、不消极，一直酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，始终朝着梦想前行，就没有到达不了的远方。