阵列中所有独特配对之间的最小差异之和

最后更新 : 2021年8月6日

给定一个由N个整数组成的数组 arr[]，任务是找到更新数组 **arr[]**后数组中唯一的一对元素之间所有绝对差异的最小和。为了更新数组，可以按任何顺序从数组中选择任何两个元素。从第一个元素中减去1，然后加到第二个元素中。这个步骤可以重复任何次数。

例子。

输入： arr[]={1, 2, 3}
**输出。**0
解释。 选择1和3来更新数组，3-1=2，1+1=2。所以更新后的数组成为arr[]={2, 2, 2}。成对的绝对差值的最小可能之和是0+0+0=0。

输入： arr[]={0, 1, 1, 0}
**输出。**4
解释。 选择任何两个元素进行更新都会导致绝对差值的总和增加。所以总和是1+1+1+1+0+0=4。

办法。给 定的问题可以根据以下观点来解决。

为了使所有独特的配对之间的绝对差异之和最小化，这些元素应该尽可能地接近。
为了做到这一点，找到总和S并将总和S除以N，即val=S/N。
如果val是一个整数，那么问题就变得非常简单，因为按照操作，所有的整数都可以转换为X。
否则，X的某些元素将是刚好小于val的整数**，即floor(val)，其他元素将是ceil(val)。**
为了找到X的值**，利用这样一个事实：即使在更新后，数组的总和也是一样的。因此，使用下面的公式来寻找X的值。**

x*(b-1) + N*b - x*b = S

=> x*b - x + N*b - x*b = S

=> N*b - x = S

=> x = N*b - S

举例来说

N = 10
arr[] = {8, 3, 6, 11, 5, 2, 1, 7, 10, 4}
数组中所有元素的总和，S=57
所以，S/N=5.7意味着如果所有的元素都转换为5.7，那么所有元素对之间的绝对差值之和将达到最小，即0。
但是使用上述操作将所有元素转换为5.7是不可能的。
所以，一些元素将是5，其他将是6。

现在，问题是有多少元素会是5。比方说x，那么(N-x)将是6，在所有这个过程中，总和将永远是保守的。
=> x*5 + (N-x)*6 = 57
=> -x = 57 - 60 (将N的值设为10，然后解方程)
-x = -3 => x=3
因此，转换后的数组将是{5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6}。

现在，将给出一个像1一样的差异的对是x*(N-x)。
所以差值的总和也将是x*(N-x)。

按照下面的步骤来解决这个问题。

将变量sum初始化为0，以存储数组 **arr[]**中的元素之和。
使用变量i对范围 **[0, N]**进行迭代，并执行以下步骤。
- 在变量sum中加入arr[i]的值**。**
将变量temp初始化为**(float)S/N。**
将a的值设为temp的底限值。
将b的值设为temp的上限。
将x的值设为b*N-sum，以存储将发生分区的位置。
打印**x*(N-x)**的值作为结果。

下面是上述方法的实现。

C++

// C++ program for the above approach

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// Function to calculate the minimum

// sum of diffrences of pairs

void solve(int N,int arr[])

{

int a, b, S = 0, x;

for (int i = 0; i < N; i++) {

// Take sum of all elements

S = S + arr[i];

}

// Store s/n to a temperory float

// variable and typecast

// s/n to get exact float value

float temp = (float)S / N;

// take floor value of temp

a =floor(temp);

// take floor value of temp

b =ceil(temp);

// position where partition will happen

x = b * N - S;

// Total sum of differences

cout << x * (N - x);

}

// Driver Code

int main()

{

int arr[] = { 8, 3, 6, 11, 5, 2, 1, 7, 10, 4 };

int N =sizeof(arr) /sizeof(arr[0]);

solve(N, arr);

return 0;

}

输出

**时间复杂度：**O(N)
**辅助空间：**O(1)

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阵列中唯一的一对之间的所有差异的最小总和

阵列中所有独特配对之间的最小差异之和

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