例子来源于《悖论-破解科学史上最复杂的9大谜团》第一章

1. 消息的一块钱之谜

2. 贝特箱子悖论 & 小猫问题

3. 蒙提霍尔悖论

4. 生日悖论

贝特朗箱子悖论

题目

● 有三个箱子，每个箱子里各有两枚硬币

● 每个箱子分成两半，每一半都有一个球，可以单独打开看球的颜色

● 球的颜色有绿色和红色两种

● 箱子里球的搭配分为3种

问题

现在随机选择一个箱子，然后随机打开一半，假设发现的是红球。

问：另一边也红球的概率是多少？

解答

我相信第一反应都是1/2，因为有红球的情况只有两种, 红红和红绿，所以红红的概率不就是1/2了吗？

但是答案是2/3。为什么？

下面给所有小球进行标记

看下各个可能的组合出现的概率

看完这个表格，我相信你已经明白了。

小猫问题

题目

假设你想购买两只猫，打电话给宠物店老板，老板说有两只猫

● 一只花猫，一只橘猫

然后问老板他们的性别，这时候可能有两种回答：

1. “检查了其中一只，是公猫”

2. “检查了花猫，是公猫”

问：这两种情况下，两只猫都是公猫的概率分别是多少？

解答

绝大多数人第一反应我猜和我一样，两种情况的概率就是1/2 (耶稣来了也没用)。

但是既然这个题出现在这，肯定就不会是1/2了，真正的情况是：

● 情况一：1/3

● 情况二：1/2

至于为什么，看下面的组合概率表就知道了

蒙提霍尔悖论

题目

假如你现在参加一个节目，主持有让你选择一个箱子，假如选中有红球的箱子可以获得10W元。

已知：

● 有三个箱子

● 一个箱子有球，两个箱子没有球

问题

1. 假设你随机选择一个箱子，放到A的位置

2. 这时主持人打开一个箱子，为空，放到C位置

主持人问：你是否愿意交换A和B?

解答

● 如果不交换，猜中的概率为 = 1/3

● 如果交换，猜中的概率为 = 2/3

文字解释：如果交换，问题就从选择有球的箱子变成了选择没有球的箱子。

生日问题

生日问题是指最少需要几人，当中的两个人生日相同的概率才会大于50%。

● 一年365天

● 不存在双胞胎等类似情况

解答

假设有两个人

1. 先求不相同的概率

$q(2) = (\frac{365}{365} * \frac{364}{365})$

2. 得出相同的概率

$p(2) = 1 - q(2) = 1 - (\frac{365}{365} * \frac{364}{365}) =\frac{1}{365}$

可以推算出

$p(n) = 1 - q(n)

= 1 - (\frac{365}{365} * \frac{364}{365} ... \frac{365-n+1}{365})

= 1 - \frac{365!}{365^n(365-n)!}$

现在要求 p(n) >= 0.5 时候的n最小值，最终可以求出p(23) = 0.507

扩展一下

现在100个数字，连续随机拿75次，存在重复数字的概率为多少？

$exp = 1 - \frac{100!}{100^{75}(100-75)!} ≈ 99.999\%$

这就是HashMap中负载因子为什么为0.75的原因