[ 数学知识 ]LCP 29. 乐团站位

Devil
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题目链接：leetcode-cn.com/problems/SN…

题目描述

  • 某乐团的演出场地可视作 num * num 的二维矩阵 grid（左上角坐标为 [0,0])，每个位置站有一位成员。乐团共有 9 种乐器，乐器编号为 1~9，每位成员持有 1 个乐器。
  • 为保证声乐混合效果，成员站位规则为：自 grid 左上角开始顺时针螺旋形向内循环以 1，2，...，9 循环重复排列。例如当 num = 5 时，站位如图所示 image.png
  • 请返回位于场地坐标 [Xpos,Ypos] 的成员所持乐器编号。

示例

  • 示例1
输入：`num = 3, Xpos = 0, Ypos = 2`
输出：`3`
解释：

image.png

  • 示例2
输入：`num = 4, Xpos = 1, Ypos = 2`
输出：`5`
解释：

image.png

提示

  • 1 <= num <= 10^9
  • 0 <= Xpos, Ypos < num

解题思路

  • 根据题目分析
    • 找到所在圈
    • 将之前的圈所包含的数量加起来(注意溢出)
    • 找到当前位置在该圈上的位置
    • 求出最终数字
  • 毫无疑问，就看成一圈一圈的正方形，然后定位点A(x,y)在第几个圈，判断代码如下： 直接取四个的最小值就是点A所处的圈let whichRect = (Math.min(num - xPos - 1, xPos, yPos, num - yPos - 1))
  • 然后计算，点A所处的圈的所有外圈的和，他们是等差数列（别想着用循环），直接用等差数列求和公式，这里很关键，单纯用公式的话，值会溢出，所以我们得对公式的乘积的每个元素取余，代码如下：rectSum = (4 * whichRect % 9 * ((num - whichRect) % 9)) % 9
  • 最后就是判断点A在正方形的上边还是右边还是下边，还是左边，分别添加即可。

反思

  • 一开始思路是循环加和，但是O(N)解法超时了。于是继续观察，发现每一圈都是等差数列，可以用等差数列求和来计算之前的圈所包含的数量，从而降低到O(1)。
  • 直接计算会导致溢出，在计算idx时需要包裹BigInt防止溢出。

AC代码

let rectSum = 0
    let whichRect = (Math.min(num - xPos - 1, xPos, yPos, num - yPos - 1))
    rectSum = (4 * whichRect % 9 * ((num - whichRect) % 9)) % 9
    xPos = xPos - whichRect
    yPos = yPos - whichRect
    let tempSum = num - (whichRect) * 2
    console.log(tempSum, whichRect, xPos, yPos, rectSum)

    if (xPos === 0) {
        return (rectSum + yPos + 1) % 9 === 0 ? 9 : (rectSum + yPos + 1) % 9
    } else if (yPos === 0) {
        return (rectSum + tempSum * 4 - 3 - xPos) % 9 === 0 ? 9 : (rectSum + tempSum * 4 - 3 - xPos) % 9
    } else if (yPos + 1 === tempSum) {
        return (rectSum + tempSum + xPos) % 9 === 0 ? 9 : (rectSum + tempSum + xPos) % 9
    } else {
        return (rectSum + tempSum * 3 - 3 - yPos + 1) % 9 === 0 ? 9 : (rectSum + tempSum * 3 - 3 - yPos + 1) % 9
}

总结

  • 纯数学题，需要推导。想不到就是想不到
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