LeetCode 热题 HOT — 不同路径

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不同路径

原题地址

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 *$10^9$

思路分析

方法一

1. 从左上角到右下角的过程中，需要移动 m + n - 2 次，其中有 m - 1 次向下移动，n - 1 次向右移动。按照排列组合的定义来说，路径的总数为：从 m + n - 2 次总的移动过程中选择 m - 1 次向下移动的次数，为组合数：$\text{C}_{m+n-2}^{m-1}=\frac{\text{A}_{m+n-2}^{m-1}}{\text{A}_{m-1}^{m-1}}=\frac{(m+n-2)\times (m+n-3) \times … \times n}{(m-1)\times(m-2)\times… \times 1}$（条）不同路径；
2. 按照上述思路，计算分子分母，然后得到商，返回即可。

方法二

1. 定义一个 res 数组，其中 res[i][j] 表示从左上角走到 (i, j) 的路径数量；
2. 题目规定，只能向右或者向下移动，因此想要走到 (i, j)，如果向下走一步到达，就是从 (i-1, j) 走过来；若向右走一步到达，就是从 (i, j-1) 走过来；
3. 按照2得出，res[i][j] = res[i-1][j] + res[i][j-1];
4. 然后来确定初值，若 m 或者 n 有一个为 0，则都只有一条路径可以到达，也就是 res[i][0] = res[0][j] = 1;
5. 按照步骤三的公式，最终计算得到 res。

AC 代码

方法一

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function(m, n) {
    let numerator = 1  // 分子
    let denominator = 1  // 分母
    for(let i = 1; i <= m - 1; i++) {
        denominator *= i
    }
    for(let i = n; i <= m + n - 2; i++) {
        numerator *= i
    }
    return numerator/denominator
};

结果：

• 执行结果： 通过
• 执行用时：76 ms, 在所有 JavaScript 提交中击败了10.49%的用户
• 内存消耗：40.9 MB, 在所有 JavaScript 提交中击败了72.21%的用户
• 通过测试用例：63 / 63

方法二

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function(m, n) {
    const res = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0))
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        res[i][0] = 1
    }
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        res[0][j] = 1
    }
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            res[i][j] = res[i - 1][j] + res[i][j - 1]
        }
    }
    return res[m - 1][n - 1]
}

结果：

• 执行结果： 通过
• 执行用时：64 ms, 在所有 JavaScript 提交中击败了51.74%的用户
• 内存消耗：41 MB, 在所有 JavaScript 提交中击败了69.57%的用户
• 通过测试用例：63 / 63

END