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描述

Levenshtein 距离，又称编辑距离，指的是两个字符串之间，由一个转换成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。编辑距离的算法是首先由俄国科学家 Levenshtein 提出的，故又叫 Levenshtein Distance 。

例如：

字符串A: abcdefg

字符串B: abcdef

通过增加或是删掉字符 ”g” 的方式达到目的。这两种方案都需要一次操作。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的距离。

要求：

给定任意两个字符串，写出一个算法计算它们的编辑距离。

数据范围：给定的字符串长度满足 1≤len(str)≤1000

输入描述：

每组用例一共2行，为输入的两个字符串

输出描述：

每组用例输出一行，代表字符串的距离

示例1

输入：

abcdefg
abcdef

输出：

题目的主要信息：

Levenshtein 距离，指的是两个字符串之间，由一个转换成另一个所需的最少编辑操作次数，编辑可包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符
给定任意两个字符串，计算二者的编辑距离

方法一：动态规划

具体做法：

我们用二维dp数组记录编辑距离，其中dp[i][j]表示字符串s1前i个字符与字符串s2前j个字符之间的编辑距离。

初始状态时，s1中第0个字符与s2中每个字符的距离就是s2每个字符为止的长度，s2中第0个字符与s1中每个字符的距离就是s1每个字符为止的长度，因此二维数组第1行第1列分别置为相应的列号和行号。

后面我们对于字符串s1中从1到n每个长度，都计算相应的到字符串2从1到m每个长度的距离。转移方程为：

dp[i][j]=min{dp[i−1][j−1]+(s1[i]==s2[j]?0:1),min(dp[i−1][j],dp[i][j−1]+1)}

其中dp[i−1][j]表示字符串s1前i−1个字符到字符串s2前j个字符的距离，增加一个字符即可得到，dp[i][j−1]表示字符串s1前i个字符到字符串s2前j−1个字符的距离, 删除一个字符即可得到，因此转移都是加1次操作。dp[i−1][j−1]表示字符串s1前i−1个字符到字符串s2前j−1个字符的距离，如果现在两个字符相同，则不变，否则增加一次修改操作，距离加1.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    string s1, s2;
    while(cin >> s1 >> s2){
        int n = s1.length();
        int m = s2.length();
        vector<vector<int> > dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0)); //dp[i][j]表示s1中前i个字符与s2中前j个字符的距离
        for(int i = 1; i <= m; i++)  //s1中第0个字符与s2中每个字符的距离就是s2每个字符为止的长度
            dp[0][i] = i;
        for(int i = 1; i <= n; i++)  //s2中第0个字符与s1中每个字符的距离就是s1每个字符为止的长度
            dp[i][0] = i;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                int temp = dp[i - 1][j - 1];
                if(s1[i - 1] != s2[j - 1]) //如果前两个字符不同，要多增加1的距离
                    temp++;
                dp[i][j] = min(temp, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); //状态转移，选出最小
            }
        }
        cout << dp[n][m] << endl;
    }
    return 0;
}

复杂度分析：

时间复杂度： $O(nm)$ ，其中n和m分别为两个字符串的长度，两层遍历
空间复杂度： $O(nm)$ ，辅助数组dp的大小

方法二：动态规划空间优化