定义

在一个实数向量空间 $V$ 中，对于给定集合 $X$ ，所有包含 $X$ 的凸集的交集 $S$ 被称为 $X$ 的凸包。
- $S:=\bigcap_{X\subseteq K\subseteq V,\,K\,is\,convex} K$
- 凸集：在点集拓扑学与欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一个点集合，其中每两点之间的直线点都落在该点集合中。
  - 其实可以发现这些点集构成的图形每个边都是向外凸的，所以才叫凸集嘛。
- $X$ 的凸包可以用 $X$ 内所有点 $(x_1,\dots,x_n)$ 的线性组合来构造。
  - $S:=\lbrace \sum^n_{j=1}t_jx_j|x_j\in X,\sum^n_{j=1}t_j=1,t_j\in[0,1]\rbrace$
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包着所有点的橡皮圈。

算法简介

增量式算法
- 逐个将点加入集合构成凸包，检查之前的点是否存在于新的凸包集合。
- 每次都要检查之前所有的点，遍历套一个遍历，所以时间复杂度为 $O(n^2)$
包裹法（Jarvis步进法）
- 由必定在凸包的点开始，如最左边的点 $P_1$ ，然后找 $P_1$ 右边的第一个点 $P_2$ ，使得其他所有点与 $P_1P_*$ 构成的向量都在向量 $P_1P_2$ 右边。（比较所有向量 $P_1P_*$ 的极坐标角度）
- 然后以 $P_2$ 作为向量起点，重复上述步骤，依次找到后续的 $P_3,P_4,\dots,P_k,P_1$ ，最终会找回到起点 $P_1$ 。
- 总共会找到 $k$ 个点，每找一个点的时间复杂度为 $O(n)$ ，所以总时间复杂度为 $O(kn)$ 。
- 会每次都重复遍历后面所有的点。
葛立恒（Graham）扫描法
- 由最底的点 $P_1$ 开始（最左下），计算它与其他各点连线与x轴正向的角度，由小到大排序，称其对应点为 $P_2,P_3,\dots,P_n$ 。
- 从该集合中依次取点判断，上一条路径到下一条路径是向右（内）转还是向左（外）转
  - 若向右转则该点不会在凸包上，丢弃考虑下一个点；
  - 若向左转则以该点为头重复判断，直至最终转回 $P_1$ 。
  - 如最开始考虑路径 $\overrightarrow{P_2P_3}$ 相对路径 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 如何变化：
    - 若向右（内），则表示 $P_3$ 不可能是凸包上的一点，开始判断 $\overrightarrow{P_2P_4}$ ；
    - 若向左（外）：则表示 $P_3$ 可能是凸包上的一点，开始判断 $\overrightarrow{P_3P_4}$ 。
- 时间复杂度由前面的排序决定，后面判断为 $O(1)$ ，则整体时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。
- 每个点只会被考虑一次，但不可推广到二维以上的情况。
单调链（Andrew算法基于此）
- 按坐标进行双关键字排序，先按x坐标值排序，再按y坐标值排序。（从左到右、从下到上）
- 选择x坐标为最小值的点，在这些点中找出y坐标的值最大和y坐标的值最小的点。对于x坐标为最大值也是这样处理。将两组点中y坐标值较小的点连起。在这条线段下的点，找出它们之中y坐标值最大的点，又在它们之间找x坐标值再最小和最大的点……如此类推。
  - 大概是先定位首尾边界，然后找离连线最近的凸包外点，分别与边界相连，再继续找离新连线最近的外点……一个一个往里面放。
分治链
- 将点集 $X$ 划分为两个不相交的子集，分别求两者的凸包后，计算这两个凸包的凸包，结果即为 $X$ 的凸包。（二分）
- 时间复杂度为 $O(n\log n)$
快包法（Akl-Toussaint启发式）
- 选择最左、最右、最上、最下的点构成一个凸四边形，排除其内的点，然后其余点按靠近的边划分为四个部分，再分别进行快包法（Quick Hull）。

实现应用

在leetcode587.安装栅栏一题中进行更详细的叙述与应用，并用两种语言实现了三种算法，可以康康这里→ Java&C++题解与拓展——leetcode587.安装栅栏【二维凸包学习】。

参考

[1] 凸包 - wikipedia

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