力扣每日一题0423-587. 安装栅栏

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在一个二维的花园中，有一些用 (x, y) 坐标表示的树。由于安装费用十分昂贵，你的任务是先用最短的绳子围起所有的树。只有当所有的树都被绳子包围时，花园才能围好栅栏。你需要找到正好位于栅栏边界上的树的坐标。

示例 1:

输入: [[1,1],[2,2],[2,0],[2,4],[3,3],[4,2]]
输出: [[1,1],[2,0],[4,2],[3,3],[2,4]]
解释:

示例 2:

输入: [[1,2],[2,2],[4,2]]
输出: [[1,2],[2,2],[4,2]]
解释: 
即使树都在一条直线上，你也需要先用绳子包围它们。

意:

• 所有的树应当被围在一起。你不能剪断绳子来包围树或者把树分成一组以上。
• 输入的整数在 0 到 100 之间。
• 花园至少有一棵树。
• 所有树的坐标都是不同的。
• 输入的点没有顺序。输出顺序也没有要求。

Jarvis 算法

此题为经典的求凸包的算法，详细的算法原理可以参考「凸包」。

$\texttt{Jarvis}$ 算法背后的想法非常简单。首先必须要从凸包上的某一点开始，比如从给定点集中最左边的点开始，例如最左的一点 $A_{1}$。然后选择 $A_{2}$ 点使得所有点都在向量 $2⃗\vec{A_{1}A_{2}}$ 的左方或者右方，我们每次选择左方，需要比较所有点以 $A_{1}$ 为原点的极坐标角度。然后以 $A_{2}$ 为原点，重复这个步骤，依次找到 $A_{3},A_{4},\ldots,A_{k}$。 给定原点 $p$，如何找到点 $q$，满足其余的点 $r$ 均在向量 $\vec{pq}$ 的左边，我们使用「向量叉积」来进行判别。我们可以知道两个向量 $\vec{pq},\vec{qr}$ 的叉积大于 $0$ 时，则两个向量之间的夹角小于 $180 \degree$，两个向量之间构成的旋转方向为逆时针，此时可以知道 $r$ 一定在 $\vec{pq}$ 的左边；叉积等于 $0$ 时，则表示两个向量之间平行，$p,q,r$ 在同一条直线上；叉积小于 $0$ 时，则表示两个向量之间的夹角大于 $180 \degree$，两个向量之间构成的旋转方向为顺时针，此时可以知道 $r$ 一定在 $\vec{pq}$ 的右边。为了找到点 $q$，我们使用函数 $\texttt{cross}()$ ，这个函数有 $3$ 个参数，分别是当前凸包上的点 $p$，下一个会加到凸包里的点 $q$，其他点空间内的任何一个点 $r$，通过计算向量 $\vec{pq},\vec{qr}$ 的叉积来判断旋转方向，如果剩余所有的点 $r$ 均满足在向量 $\vec{pq}$ 的左边，则此时我们将 $q$ 加入凸包中。下图说明了这样的关系，点 rrr 在向量 $\vec{pq}$ 的左边。

var outerTrees = function(trees) {
    const n = trees.length;
    if (n < 4) {
        return trees;
    }
    let leftMost = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        if (trees[i][0] < trees[leftMost][0]) {
            leftMost = i;
        }
    }

    const res = [];
    const visit = new Array(n).fill(0);
    let p = leftMost;
    do {
        let q = (p + 1) % n;
        for (let r = 0; r < n; r++) {
            /* 如果 r 在 pq 的右侧，则 q = r */ 
            if (cross(trees[p], trees[q], trees[r]) < 0) {
                q = r;
            }
        }
        /* 是否存在点 i, 使得 p 、q 、i 在同一条直线上 */
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            if (visit[i] || i === p || i === q) {
                continue;
            }
            if (cross(trees[p], trees[q], trees[i]) === 0) {
                res.push(trees[i]);
                visit[i] = true;
            }
        }
        if  (!visit[q]) {
            res.push(trees[q]);
            visit[q] = true;
        }
        p = q;
    } while (p !== leftMost);
    return res;
}

const cross = (p, q, r) => {
    return (q[0] - p[0]) * (r[1] - q[1]) - (q[1] - p[1]) * (r[0] - q[0]);
};