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题目
n−n−皇后问题是指将 nn 个皇后放在 n×nn×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
现在给定整数 nn，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。
输入格式
共一行，包含整数 nn。
输出格式
每个解决方案占 nn 行，每行输出一个长度为 nn 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。
其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。
每个方案输出完成后，输出一个空行。
注意：行末不能有多余空格。
输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。
数据范围
1≤n≤9
输入样例：
4
输出样例：
.Q..
...Q
Q...
..Q.
..Q.
Q...
...Q
.Q..
思路
经典题型，八皇后，使用dfs算法
对角线 dg[u+i]，反对角线udg[n−u+i]中的下标 u+i和 n−u+i表示的是截距
(x,y)相当于上面的(u,i)
反对角线 y=x+b, 截距 b=y−x，因为我们要把 b 当做数组下标来用，显然 b 不能是负的，所以我们加上 n、+n （实际上+n+4,+2n都行），来保证是结果是正的，即 y - x + n
而对角线 y=−x+b, 截距是 b=y+x，这里截距一定是正的，所以不需要加偏移量
核心目的：找一些合法的下标来表示dg或udg是否被标记过，所以如果你愿意，你取 udg[n+n−u+i] 也可以，只要所有(u,i)对可以映射过去就行
ac代码
//（DFS按每个元素枚举）时间复杂度O(2n2) 时间复杂度分析：每个位置都有两种情况，总共有 n2 个位置
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int n;
bool row[N], col[N], dg[N * 2], udg[N * 2]; //// 因为是一个个搜索，所以加了row
char g[N][N];
void dfs(int x, int y, int s){ //// s表示已经放上去的皇后个数
if (s > n) return;
if (y == n) y = 0, x ++ ; //处理边界问题
if (x == n){ //// x==n说明已经枚举完n^2个位置了
if (s == n)for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << g[i] << endl; //// s==n说明成功放上去了n个皇后
cout << endl;
return;
}
g[x][y] = '.';
dfs(x, y + 1, s);
if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n]){
row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
g[x][y] = 'Q';
dfs(x, y + 1, s + 1);
g[x][y] = '.';
row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
}
}
int main(){
cin >> n;
dfs(0, 0, 0);
return 0;
}
第二种ac代码
//（DFS按行枚举） 时间复杂度O(n!)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20;
int n;
char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N];
void dfs(int u){
if (u == n){ // u == n 表示已经搜了n行，故输出这条路径
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << g[i] << endl;
cout << endl;
return;
}
//对n个位置按行搜索
for (int i = 0; i < n; i ++ )
// 剪枝(对于不满足要求的点，不再继续往下搜索)
// udg[n - u + i]，+n是为了保证下标非负
if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]){
g[u][i] = 'Q';
col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;
dfs(u + 1);
col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
g[u][i] = '.';
}
}
int main(){
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j = 0; j < n; j ++ )g[i][j] = '.';
dfs(0);
return 0;
}
