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前言

每日一题，轻松解题

每日一题为刷题系列每日刷一题LeetCode题，并且对题目进行分析，分享思路。

正文

：扣分后的最大得分

难度：中等

题目要求：

给你一个 m x n 的整数矩阵 points （下标从 0 开始）。一开始你的得分为 0 ，你想最大化从矩阵中得到的分数。

你的得分方式为：每一行中选取一个格子，选中坐标为 (r, c) 的格子会给你的总得分增加 points[r][c] 。

然而，相邻行之间被选中的格子如果隔得太远，你会失去一些得分。对于相邻行 r 和 r + 1 （其中 0 <= r < m - 1），选中坐标为 (r, c1) 和 (r + 1, c2) 的格子，你的总得分减少 abs(c1 - c2) 。

请你返回你能得到的最大得分。

abs(x) 定义为：

如果 x >= 0 ，那么值为 x 。
如果 x < 0 ，那么值为 -x 。

举个例子

输入：points = [[1,2,3],[1,5,1],[3,1,1]]
输出：9
解释：
蓝色格子是最优方案选中的格子，坐标分别为 (0, 2)，(1, 1) 和 (2, 0) 。
你的总得分增加 3 + 5 + 3 = 11 。
但是你的总得分需要扣除 abs(2 - 1) + abs(1 - 0) = 2 。
你的最终得分为 11 - 2 = 9 。

：解题

方法一：动态规划

解题思路：

dp[i][j]表示前i行以points[i][j]结尾的最大得分。
ans=max(dp[m-1][0],dp[m-1][1],...,dp[m-1][n-1]);

状态转移方程:dp[i][j]=max(dp[i-1][k]-abs(j-k))+points[i][j];其中0<=k<n;

时间优化：对于max(dp[i-1][k]-abs(j-k)),0<=k<n实际可以优化成O(1)的形式
用一个max[n]数组代替max(dp[i-1][k]-abs(j-k)),0<=k<n;
我们注意到：对于下标j来说：
当0<=k<=j时，max(dp[i-1][k]-abs(j-k))=max(dp[i-1][k]+k-j) (0<=k<=j);
设maxL[j]=max(dp[i-1][k]+k-j) (0<=k<=j);
maxL[j+1]=max(dp[i-1][k]+k-j-1) (0<=k<=j+1);
maxL[j+1]=max(maxL[j]-1,dp[i-1][j+1]);
maxL[j]=max(maxL[j-1]-1,dp[i-1][j])
maxL数组可以优化成常数
当j<=k<n时，max(dp[i-1][k]-abs(j-k))=max(dp[i-1][k]+j-k) (j<k<n);
设maxR[j]=max(dp[i-1][k]+j-k) (j<k<n);
maxR[j-1]=max(dp[i-1][k]+j-k-1) (j<=k<n);
maxR[j-1]=max(maxR[j]-1,dp[i-1][j-1]);
maxR[j]=max(maxR[j+1]-1,dp[i-1][j]);
maxR数组可以优化成常数
所以max[j]=max(maxL[j],maxR[j]);
空间优化：对于二维dp来说可以使用滚动数组的方式优化成一维dp;

编辑代码：

 var maxPoints = function(points) {
    const m=points.length;
    const n=points[0].length;
    const dp=new Array(n).fill(0);
    //max数组用来存放每一列j:(max(dp[i-1][k]-abs(j-k)),0<=k<n)的值
    const max=new Array(n).fill(0);
    for(let i=0;i<m;i++){
        let maxL=0;
        for(let j=0;j<n;j++){
            maxL=Math.max(maxL-1,dp[j]);
            max[j]=maxL;
        }
        let maxR=0;
        for(let j=n-1;j>=0;j--){
            maxR=Math.max(maxR-1,dp[j]);
            max[j]=Math.max(max[j],maxR);
        }
        for(let j=0;j<n;j++){
            dp[j]=max[j]+points[i][j];
        }
    }
    let ans=0;
    for(let i=0;i<n;i++){
       ans=Math.max(ans,dp[i]);
    }
    return ans;
};

总结

无论做什么分析最重要，其中我们分析了题目，分析了解题思路，其实在分析完解题思路后，代码其实就是很简单的事情了，养成习惯，无论做什么之前，都要进行分析，这样有助于你更快更好的完成这件事。

每日一题 -- LeetCode1937

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