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前面我们讨论了笛卡尔积的递归算法实现。现在我们将要进一步的使用这个方法。

子集的生成

子集的问题实际上和笛卡尔积是同一个问题，因为子集实际上可以看作枚举 R ^ n ，其中 R 包括 0、1，而 n 代表集合元素的个数。

于是我们可以写出如下的代码：

def subset(n: int) -> List[List[int]]:
    res = []
    mask = [False] * n

    def bt(d: int):
        if d == n:
            res.append([i for i, x in enumerate(mask) if x])
            return
        mask[d] = True
        bt(d + 1)
        mask[d] = False
        bt(d + 1)

    bt(0)
    return res

其中 mask 表示已经被枚举的结果，相当于我们枚举的笛卡尔积。不过由于子集问题我们需要的是部分选择，从这个角度我们也可以认为只是选择一部分的数据，这和我们所谓的掩码是近似的概念，只需要一部分，不关注其他的部分。所以最终我把它命名了。

另一个值得注意的是，和与先前笛卡尔积不同的是，我们没有写成循环的形式，而是写了两份。

这里并不是因为它的分支少所以展开写或者使用循环等价。考虑的思路是对更具体的子集问题，实际上会有一些减枝操作。

而当前的这个位置做出决策时考虑的是不完全一样的，选择的时候我们更多的考虑他是否可以选择，而不选的时候更多地是考虑还能否有结果。这么说有些抽象，等到后序更具体地例子我们在解释相关的原因。

另外还有一点值得注意的是，对于回溯算法而言，最终的结果复杂度实际上比循环还要高一个量级。

比如说上面的子集生成算法，每个位置的选和不选构成n次操作。但是在每次生成子集时需要遍历整个子集，也需要遍历n个元素。最终复杂度的数量级在于 $n2^n$ 。