本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

每日一题做题记录，参考官方和三叶的题解

题目要求

思路一：数学规律

把每一轮函数表达式写出来，找规律：【$sum$为数组$nums$中所有元素之和】

• $F(0)=0\times nums[0]+1\times nums[1]+\dots+(n-2)\times nums[n-2]+(n-1)\times nums[n-1]$
• $F(1)=1\times nums[0]+2\times nums[1]+\dots+(n-1)\times nums[n-2]+0\times nums[n-1]$ $\qquad \qquad= F(0)+sum-((n-1)+1)\times nums[n-1]$
• $F(2)=2\times nums[0] + 3\times nums[1]+\dots+0\times nums[n - 2]+1\times nums[n-1]$ $\qquad \qquad=F(1)+sum-((n-1)+1)\times nums[n-2]$
• ……

那就可以找到规律了，第$k$轮结果中除了第$n-k$个元素，每一个元素都比上一轮中多加一个，而$n-k$元素少加了$n-1$个，所以就直接给上一轮加上所有元素的和（每个元素都多加一个），然后把多余的$n-k$减掉，即$F(k)=F(k-1)+sum-n\times nums[n-k]$。

带着这个公式不停迭代更新结果就好了。

Java

class Solution {
    public int maxRotateFunction(int[] nums) {
        int n = nums.length, res = 0;
        int sum = Arrays.stream(nums).sum();
        for(int i = 0; i < n; i++)
            res += i * nums[i];
            
        for(int i = n - 1, cur = res; i > 0; i--){
            cur += sum - n * nums[i];
            if(cur > res)
                res = cur;
        }        
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

C++

class Solution {
public:
    int maxRotateFunction(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), res = 0;
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        for(int i = 0; i < n; i++)
            res += i * nums[i];

        for(int i = n - 1, cur = res; i > 0; i--) {
            cur += sum - n * nums[i];
            if(cur > res)
                res = cur;
        }
        return res;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

思路二：前缀和+滑动窗口

旋转数组这种概念想到之前做过的旋转字符串，把两个自己拼接在一起放一个$n$的滑动窗口就可以找到每一个结果。【注意滑动窗口运行方向和函数运行方向不一样，也就是得到结果过程中顺序不同，但结果相同。】

• 当前窗口：$cur=0\times nums[i]+1\times nums[i+1]+\dots+(n-1)\times nums[i+n-1]$
• 下一个窗口：$nxt=0\times nums[i+1]+1\times nums[i+2]+\dots+(n-2)\times nums[i+n-1]+(n-1)\times nums[i]$
• 可以看到除第$i$个元素之外，每个元素都比上一轮少一个，而第$i$个元素则反而多了$n-1$个。此时有两种方法：
  • 上面用的，减去所有元素之和再加回来所有的元素$nums[i]$，即$nxt=cur-sum+n*nums[i]$；
  • 前缀和（下面使用），统计元素前缀和，即当前元素（不含）之前所有元素的和，减去除当前元素外的所有元素之和，再加上$n-1$个$nums[i]$，即$nxt=cur-(pre[i-1]-pre(i-n))+(n-1)*nums[i]$。
  按思路迭代，更新更大的结果作为答案即可。

Java

class Solution {
    public int maxRotateFunction(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] pre = new int[n * 2 + 1]; // 前缀和
        for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
            pre[i] = pre[i - 1] + nums[(i - 1) % n];

        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            res += nums[i - 1] * (i - 1);
        for(int i = n + 1, cur = res; i < 2 * n; i++) { //滑动窗口
            cur += nums[(i - 1) % n] * (n - 1);
            cur -= pre[i - 1] - pre[i - n];
            if(cur > res)
                res = cur;
        }
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

C++

class Solution {
public:
    int maxRotateFunction(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int pre[n * 2 + 1]; // 前缀和
        for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
            pre[i] = pre[i - 1] + nums[(i - 1) % n];

        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            res += nums[i - 1] * (i - 1);
        for(int i = n + 1, cur = res; i < 2 * n; i++) { // 滑动窗口
            cur += nums[(i - 1) % n] * (n - 1);
            cur -= pre[i - 1] - pre[i - n];
            if(cur > res)
                res = cur;
        }
        return res;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

总结

今儿的题做着很舒服，终于不是暴力模拟，需要思考理解了！
其实两个方法都是在找规律，化简要加减的内容，很数学，本质上加减的东西是一样的，只不过表达不同。那个前缀和感觉有点复杂，就没必要，直接用元素和方便很多。

话说今天下课补比赛看到一半，掘金……掘金？……今天还没刷题……滚来学习……

欢迎指正与讨论！