前端算法第一六五弹-买卖股票的最佳时机 III

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给定一个数组，它的第 **i 个元素是一支给定的股票在第 i **天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

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动态规划

由于我们最多可以完成两笔交易，因此在任意一天结束之后，我们会处于以下五个状态中的一种：

• 未进行过任何操作；
• 只进行过一次买操作；
• 进行了一次买操作和一次卖操作，即完成了一笔交易；
• 在完成了一笔交易的前提下，进行了第二次买操作；
• 完成了全部两笔交易。

由于第一个状态的利润显然为 $0$，因此我们可以不用将其记录。对于剩下的四个状态，我们分别将它们的最大利润记为 $\textit{buy}_1$，$\textit{sell}_1$，$\textit{buy}_2$ 以及 $\textit{sell}_2$。

如果我们知道了第 $i−1$ 天结束后的这四个状态，那么如何通过状态转移方程得到第 $i$ 天结束后的这四个状态呢？

对于 $\textit{buy}_1$ 而言，在第 $i$ 天我们可以不进行任何操作，保持不变，也可以在未进行任何操作的前提下以 $\textit{prices}[i]$ 的价格买入股票，那么 $\textit{buy}_1$ 的状态转移方程即为：

$buy1=max{buy_1′,−prices[i]}$

这里我们用 $\textit{buy}_1'$ 表示第 $i−1$ 天的状态，以便于和第 $i$ 天的状态 $\textit{buy}_1$ 进行区分。

对于 $\textit{sell}_1$ 而言，在第 $i$ 天我们可以不进行任何操作，保持不变，也可以在只进行过一次买操作的前提下以 $\textit{prices}[i]$ 的价格卖出股票，那么 $\textit{sell}_1$ 的状态转移方程即为：

$sell_1=max\{sell_1′,buy_1′+prices[i]\}$

同理我们可以得到 $\textit{buy}_2$ 和 $\textit{sell}_2$ 对应的状态转移方程：

$buy_2=max\{buy_2′,sell_1′−prices[i]\}$

$sell_2=max\{sell_2′,buy_2′+prices[i]\}$

因此，在状态转移时，我们可以直接写成：

$buy_1=max\{buy_1,−prices[i]\}$

$sell_1=max\{sell_1,buy_1+prices[i]\}$

$buy_2=max\{buy_2,sell_1−prices[i]\}$

$sell_2=max\{sell_2,buy_2+prices[i]\}$

var maxProfit = function(prices) {
    const n = prices.length;
    let buy1 = -prices[0], buy2 = -prices[0];
    let sell1 = 0, sell2 = 0;
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        buy1 = Math.max(buy1, -prices[i]);
        sell1 = Math.max(sell1, buy1 + prices[i]);
        buy2 = Math.max(buy2, sell1 - prices[i]);
        sell2 = Math.max(sell2, buy2 + prices[i]);
    }
    return sell2;
};