力扣每日一题0422-396. 旋转函数

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给定一个长度为 n 的整数数组 nums 。

假设 arrk 是数组 nums 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 nums 的 旋转函数  F 为：

• F(k) = 0 * arrk[0] + 1 * arrk[1] + ... + (n - 1) * arrk[n - 1]

返回 F(0), F(1), ..., F(n-1)中的最大值 。

生成的测试用例让答案符合 32 位 整数。

示例 1:

输入: nums = [4,3,2,6]
输出: 26
解释:
F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26
所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。

示例 2:

输入: nums = [100]
输出: 0

提示:

• n == nums.length
• $`1 <= n <= 10^5`$
• 100 <= nums[i] <= 100

---

迭代

记数组 $\textit{nums}$ 的元素之和为 $\textit{numSum}$。根据公式，可以得到：

• $F(0)=0×nums[0]+1×nums[1]+…+(n−1)×nums[n−1]$
• $F(1)=1×nums[0]+2×nums[1]+…+0×nums[n−1]=F(0)+numSum−n×nums[n−1]$

更一般地，当 $1 \le k \lt n$ 时，$F(k) = F(k-1) + \textit{numSum} - n \times \textit{nums}[n-k]$。我们可以不停迭代计算出不同的 $F(k)$，并求出最大值。

F[0] = nums[0] * 0 + ... + (n - 1) * nums[n - 1]

F[1] = nums[n - 1] * 0 + ... + (n - 1) * nums[n - 2]

F[1] - F[0] = nums[0] + ... + nums[n - 2] - (n - 1) * nums[n - 1]
F[1] = F[0] + Sum{nums[i]} - n * nums[n - 1]

同理可以得到 F[2] 和 F[i]

F[2] = F[1] + Sum{nums[i]} - n * nums[n - 2]
...
F[i] = F[i-1] + Sum{nums[i]} - n * nums[n - i]

综上

var maxRotateFunction = function(nums) {
    let f = 0, n = nums.length, numSum = _.sum(nums);
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        f += i * nums[i];
    }
    let res = f;
    for (let i = n - 1; i > 0; i--) {
        f += numSum - n * nums[i];
        res = Math.max(res, f);
    }
    return res;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{nums}$ 的长度。计算 $\textit{numSum}$ 和第一个 $f$ 消耗 $O(n)$ 时间，后续迭代 $n−1$ 次 $f$ 消耗 $O(n)$ 时间。
• 空间复杂度： $O(1)$。仅使用常数空间。