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一阶形式系统$K_\mathcal{L}$

• 一阶形式系统$K_\mathcal{L}$是指由一阶语言$\mathcal{L}$以及下面的公理和推理规则组成：

  • 公理集：
    • $(K_1) : A \to (B \to A)$
    • $(K_2) : (A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))$
    • $(K_3) : (\neg B \to \neg A) \to (A \to B)$
    • $(K_4)(量词消去公理): (\forall x_i)A \to A$
    • $(K_5) (项代入公理) : (\forall x_i)A(xi) \to A(t)$ ($x_i$是$A(x_i)$的自由变元,，$t$关于$A(x_i)$中的$x_i$自 由)
    • $(K_6) (量词换位 公理) : (\forall x_i)(A \to B) \to (A \to (\forall x_i)B)$，($x_i$不在 A 中自由出现)

  $K5$和$K6$约束条件的必要性, 否则它们都不是逻辑有效的

  • 推理机制：
    • MP规则：$\frac{A,A \to B}{B}$
    • Gen规则（量词引入规则）：$\frac{A}{(\forall x_i)A}$

    MP规则解释：从$A \to B$与$A$可以得到$B$ Gen规则解释：从$A$可以得到$(\forall x_i)A$

• 例题一：

  • 设论域$D_I=\{a,b,c\}$，消去公式$\forall x(F(x)\to G(x))$中的量词
  • 答案： $\forall x(F(x)\to G(x))\Leftrightarrow (F(a)\to G(a)) \wedge(F(b)\to G(b)) \wedge(F(c)\to G(c))$

• 证明与定理：$K$中的证明是指一个有限公式序列$A_1, A_2,\cdot\cdot\cdot, A_n$使得$\forall i ≤ n$，$A_i$或是公理，或是通过前面两个公式使用MP规则或对前面某个公式使用Gen规则而得到的公式。$A_n$称为$K$的定理，记作$\vdash_K A_n$，或$\vdash A_n$，$n$称为证明的长度。

  • 每个公理都是定理
  • 若$\vdash_K A$，则$\vdash_K (\forall x_i)A$

• 可靠性定理：$K$中的每个定理都是逻辑有效的，即 $若\vdash_K A，则\models A$

一阶形式系统$K$的演绎定理

• $\Gamma -$推论：设$\Gamma \subseteq \mathcal{F(L)}$，$A \in \mathcal{F(L)}$。从$\Gamma$到$A$的一个推演是一个有限公式序列$A_1,A_2,\cdot\cdot\cdot,A_n(A_n$就是推演出的公式$A)$使得 $\forall i \leq n, A_i$或是公理，或是$\Gamma$中的成员，或是通过前面两个公式使用MP规则或对前面某个公式使用Gen规则而得到的公式。此时$A$叫做$\Gamma -$推论，记作$\Gamma \vdash_K A$，或$\Gamma \vdash A$，而$n$叫做推演的长度。
• $K$的演绎定理 设$\Gamma \subseteq \mathcal{F(L)}$，$A, B \in \mathcal{F(L)}$
  • 若$\Gamma \cup \{A\} \vdash B$且对每个在$A$中的自由出现的变元$x$，从$\Gamma \cup \{A\}$到$B$的推演中没有使用过关于$(\forall x)$的推广规则，则$\Gamma \vdash (A \to B)$
  • 若$\Gamma \vdash (A \to B)$，则$\Gamma \cup \{A\} \vdash B$
• HS规则： $\{A \to B, B \to C\} \vdash A \to C$

K 的可证等价关系

• 定义：设$A, B$是一阶语言$\mathcal{L}$中的两个公式, 若$A \to B$及$B \to A$都是$K$的定理，则称$A$与$B$是可证等价的, 记作$A \sim B$

  $\sim$是$\mathcal{F(L)}$上的同余关系

• 可证等价与逻辑等价的一致性：设$A, B$是一阶语言$\mathcal{L}$中的两个公式. 则$A \sim B$当且仅当$A \simeq B$
• 变元代换定理：设$A(x_i) \in F$，$xi$是$A(x_i)$中的自由变元, 且$A(x_i)$不含变元$x_j$，则$(\forall x_i)A(x_i)$与$(∀x_j )A(x_j )$可证等价
• 例题二：
  • 问题：设$x_i$不在$A$中自由出现，证明 $\vdash (A \to (\forall x_i)B) \to (\forall x_i)(A \to B)$
  • 答案：
    • 证明：
      $$$$

&(1) A \to (\forall x_i) B && \Gamma\ &(2) (\forall x_i)B \to B &&K_4\ &(3) A \to B &&HS(1,2)\ &(4) (\forall x_i)(A \to B) &&Gen3\ \end{aligned}$$ 故$(A \to (\forall x_i)B) \vdash (\forall x_i)(A \to B)$，那么将$\Gamma$和$\{A \to (\forall x_i)B)\}$合并后，依然可以推出$(\forall x_i)(A \to B)$，也就是$\Gamma \cup \{(A \to (\forall x_i)B) \} \vdash (\forall x_i)(A \to B)$。上述推演虽然用到了Gen规则，但$x_i$不在$A$中自由出现，从而也不在$A \to (\forall x_i)B$中自由出现，所以由演绎定理得到$\vdash (A \to (\forall x_i)B) \to (\forall x_i)(A \to B)$

• 例题三：
  • 证明 $\vdash A \to(\exist x_i)A$成立
  • 答案：
    • 证明：
    $$$$

&(1) \neg\neg(\forall x_i)\neg A \to (\forall x_i)\neg A && 已证定理 \ &(2)(\forall x_i)\neg A\to \neg A &&K_4\ &(3)\neg\neg (\forall x_i)\neg A \to \neg A &&HS(1,2)\ &(4) (\neg\neg(\forall x_i)\neg A \to \neg A) \to (A \to \neg(\forall x_i)\neg A) &&K_3\ &(5) A \to \neg(\forall x_i)\neg A &&MP(3,4)\ &(6) A \to (\exist x_i)A&&存在量词的解释\ \end{aligned}$$

• 命题：$A$是定理当且仅当$A$的闭包$cl(A)$是定理

K 的完备性

• 相容：设$S$是$K_\mathcal{L}$的一个扩张，若不存在公式$A$使得$A$与$\neg A$都是$S$的定理，则称$S$是相容的
  • $K$的相容性：一阶逻辑系统$K_\mathcal{L}$是相容的
• 扩张：设$S$是一阶系统，若$S$是由添加或改变$K_\mathcal{L}$的公理而得，且$K_\mathcal{L}$中的定理都是$S$中的定理，则称$S$为$K_\mathcal{L}$的扩张
• 完全：设$S$是$K_\mathcal{L}$的一个扩张，若对于每个闭公式$A$，$\vdash_S A$与$\vdash_S \neg A$至少有一个成立，则称$S$是完全的
  • 相容扩张性：设$S$是相容的一阶系统，$A$是一个闭公式，若$A$不是$S$中的定理，把$\neg A$作为一条新公理添加到$S$的公理集中，而得的$S$的一个扩张 $S^∗$，则$S^∗$是相容的一阶系统
• 完全性：设$S$是相容的一阶系统，则存在$S$的相容的完全扩张
  • 解释与相容性定理：设一阶系统$S$是$K_\mathcal{L}$的相容扩张, 则一阶语言 $\mathcal{L}$有解释$I$使对$\mathcal{L}$中的任一公式$A$，满足 $若\vdash_S A, 则I \models A$
• 完备性定理：$K$的每个逻辑有效公式都是$K$的定理, 即 $若\models A，则\vdash_K A$