396. 旋转函数 : 经典「前缀和 + 滑动窗口」运用题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 396. 旋转函数 ，难度为 中等。

Tag : 「前缀和」、「滑动窗口」

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $nums$ 。

假设 $arr_k$ 是数组 $nums$ 顺时针旋转 $k$ 个位置后的数组，我们定义 $nums$ 的 旋转函数  F 为：

• F(k) = 0 * arrk[0] + 1 * arrk[1] + ... + (n - 1) * arrk[n - 1]

返回 F(0), F(1), ..., F(n-1)中的最大值 。

生成的测试用例让答案符合 $32$ 位 整数。

示例 1:

输入: nums = [4,3,2,6]

输出: 26

解释:
F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26
所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。

示例 2:

输入: nums = [100]

输出: 0

提示:

• $n == nums.length$
• $1 <= n <= 10^5$
• $-100 <= nums[i] <= 100$

前缀和 + 滑动窗口

为了方便，我们将 $nums$ 的长度记为 $n$。

题目要对「旋转数组」做逻辑，容易想到将 $nums$ 进行复制拼接，得到长度为 $2 * n$ 的新数组，在新数组上任意一个长度为 $n$ 的滑动窗口都对应了一个旋转数组。

然后考虑在窗口的滑动过程中，计算结果会如何变化，假设当前我们处理到下标为 $[i, i + n - 1]$ 的滑动窗口，根据题意，当前结果为：

当窗口往后移动一位，也就是窗口的右端点来到 $i + n$ 的位置，左端点来到 $i + 1$ 的位置。

我们需要增加「新右端点」的值，即增加 $nums[i + n] * (n - 1)$，同时减去「旧左端点」的值，即减少 $nums[i] * 0$（固定为 $0$），然后更新新旧窗口的公共部分 $[i + 1, i + n - 1]$。

不难发现，随着窗口的逐步右移，每一位公共部分的权值系数都会进行减一。

变为

因此，公共部分的差值为 $\sum_{idx = i + 1}^{i + n - 1}nums[idx]$，这引导我们可以使用前缀和进行优化。

至此，我们从旧窗口到新窗口的过渡，都是 $O(1)$，整体复杂度为 $O(n)$。

实现上，我们并不需要真正对 $nums$ 进行复制拼接，而只需要在计算前缀和数组 $sum$ 进行简单的下标处理即可。

代码：

class Solution {
    public int maxRotateFunction(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] sum = new int[n * 2 + 10];
        for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[(i - 1) % n];
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ans += nums[i - 1] * (i - 1);
        for (int i = n + 1, cur = ans; i < 2 * n; i++) {
            cur += nums[(i - 1) % n] * (n - 1);
            cur -= sum[i - 1] - sum[i - n];
            if (cur > ans) ans = cur;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.396 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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