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逻辑有效性

• 定义：一阶语言$\mathcal{L}$中的公式$A$称为逻辑有效, 记作 $\models_\mathcal{L} A$，若对于$\mathcal{L}$的每个解释$I$都有$I \models A$

  在命题逻辑中，逻辑有效的公式也称为重言式，谓词逻辑中也有重言式的概念，但和逻辑有效不是同一个概念。

• 例题一：证明$\models (\forall x_i)A \to A$成立
  • 证明： 设$I$是任一解释，$v$是$I$的任一赋值，再设$v \models (\forall x_i) A$，由于$v'$是$v$的$i-$等价，故$v' \models A$，从而$v \models (\forall x_i)A \to A$，因此$\models (\forall x_i)A \to A$
  • 解释：假设$A$是$x_1<x_2$，如果对任意的$x_1,x_2$取值，都能使$x_1<x_2$成立，也就是$x_1$始终小于$x_2$，那么，可以推导出公式$A:x_1<x_2$成立。
• 定理：设$A, B, C$是一阶语言$\mathcal{L}$的公式, 下列两条成立
  • $MP$ 规则：$\models A \to B$且$\models A$可以推出$\models B$
  • $HS$ 规则：$\models A \to B$且$\models B \to C$可以推出$\models A \to C$

闭包与闭公式

• 定义：设公式$A$中的所有自由变元为$x_1, x_2, · · · , x_n$，则公式 $(\forall x_1)(\forall x_2) \cdot \cdot \cdot (\forall x_n)A$ 称为$A$的闭包, 记为$cl(A)$，若公式$A$没有自由变元，则称公式$A$是闭公式.
• 逻辑有效性的等价刻画： 设$A$是一阶语言$\mathcal{L}$中的公式，则下列各条等价:
  • $\models A$
  • $\models (\forall x_i)A$
  • $\models cl(A)$

逻辑等价

• 定义：设$A, B$是一阶语言$\mathcal{L}$中的两个公式, 若$A → B$及$B → A$都是逻辑有效公式，则称$A$与$B$是逻辑等价的, 记作$A \simeq B$

• 定理一：设$A, B$是一阶语言$\mathcal{L}$中的两个公式, 则$A \simeq B$当且仅当对$\mathcal{L}$的每一解释$I$以及$\mathcal{L}$在$I$中的每个赋值$v$都有 $v \models A当且仅当v \models B$

• 定理二：设$A$是一阶语言$\mathcal{L}$的公式，则 $(\forall x_1)(\forall x_2)A \simeq (\forall x_2)(\forall x_1)A$

• 定理三：对于一阶语言$\mathcal{L}$，$\simeq$是公式集$\mathcal{F(L)}$的一个同余关系

  • 同余：对于整数$a,b$以及正整数$m$，如果$a-b$能被$m$整除，也就是说$a\div m$所得的余数与$b\div m$所得的余数相等，则称$a,b$关于模$m$同余，记为$a\equiv b$。（这段解释来自：《同余关系和整除法则》）

• 推论：设$A, B, C$是谓词公式，则

  • $A \vee B \simeq B \vee A$
  • $A \wedge (B \vee C) \simeq (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$