本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

解释

• 定义：在命题逻辑中，我们需要对将命题中的复杂的语言符号转换成我们可以进行计算的逻辑公式，这个过程我们叫做解释，用符号$I$表示解释的内容。
• 在一阶语言$\mathcal{L}$中，$\mathcal{L}$的解释$I$的组成如下：
  • 论域：是一个非空的集合，用符合$D_I$表示。
  • 个体常元：解释$I$中所用到的个体常元都包含在论域$D_I$中，就是解释$I$中所用到的这些个体常元$\bar{a}_i$在论域$D_I$中都能找到相对应的$a_i$
  • 谓词符：$\mathcal{L}$中的谓词符号$A_i^n$对应与$D_I$上的$n$元关系$\bar{A}_i^n \subseteq D_I^n$
  • 函数符：$\mathcal{L}$中的函数符号$f_i^n$对应与$D_I$的$n$元运算符$\bar{f}_i^n:D_I^n \to D_I$
• 例题一：
  • 对于整数语言$\mathcal{L}_Z$的解释$I$有：
    • 论域：$D_I=\{0,\pm1,\pm2,\pm3, · · · \}$
    • 个体常元：$\bar{a}=0$
    • 谓词符：$\bar{A_1^2}:=$“$=$”，$\bar{A_2^2}:=$“$<$”
    • 函数符：$\bar{f_1^1}(x)=x+1$，$\bar{f_1^2}(x,y)=x+y$
  • 问题：说明公式$(\forall x_1)(\forall x_2)(\exist x_3)A_1^2(f_2^1 (x_1, x_3), x_2)$的含义
  • 答案：在整数集中，对于任何整数$x$与$y$总有整数$z$使得$x + z = y$

赋值（变量代换）

• 定义：设$\mathcal{L}$是一阶语言，$I$是$\mathcal{L}$的一个解释，$\mathcal{L}$在$I$中的赋值$v$是从$\mathcal{L}$的项集$\mathcal{T}$到$D_I$的一个映射，公式表示为： $v :\mathcal{T} \to D_I$
  • 这个映射公式就是赋值的意思，其中
    • $v(a_i) = \bar{a_i}$
    • $v(f_i^n (t_1, t_2,..., t_n) = \bar{f_i^n} (v(t_1), v(t_2),..., v(t_n))$
• 例题二
  • 自然数语言$\mathcal{L}_N$中
    • $N=\{ 0,1,2,... \}$
    • 赋值$v :\mathcal{T} \to D_I$满足
      • $v(a)=0$
      • $v(f_1^1(x))=\bar{f_1^1}(v(x))=v(x)+1$
      • $v(f_1^2(x,y))=\bar{f_1^2}(v(x),v(y))=v(x)+v(y)$
      • $v(f_2^2(x,y))=\bar{f_2^2}(v(x),v(y))=v(x)\times v(y)$
  • 问题：若$v(x_1)=1,v(x_2)=2$，那么$v(f_1^2(x_1,x_2))$等于多少
  • 答案：$v(f_1^2(x_1,x_2))=\bar{f_1^2}(v(x_1),v(x_2))=v(x_1)+v(x_2)=1+2=3$
• 等价赋值：赋值$v$的$i-$等价赋值$v′$也是一个赋值，且满足对于任意的$j$，当$j \neq i, v′(x_j ) = v(x_j )$，其中$x_i,x_j$都是一阶语言$\mathcal{L}$的变量

  • 应用：

    • 设$v \models (\forall x_i)A$，则对于$v$的任意$i-$等价赋值$w$都有$w \models A$

    • 设$v \models (\exists x_i)A$，则存在$v$的$i-$等价赋值$w$有$w \models A$

    • 设$v \models (\forall x_i)A$，则对于$v$的任意$i-$等价赋值$v$有$v \models A$

    或者写作：

    • 设$v \models (\forall x_i)A(x_i)$，则对于$v$的任意$i-$等价赋值$w$都有$w \models A(x_i)$
    • 设$v \models (\exists x_i)A(x_i)$，则存在$v$的$i-$等价赋值$w$有$w \models A(x_i)$
    • 设$v \models (\forall x_i)A(x_i)$，则对于$v$的任意$i-$等价赋值$v$有$v \models A(x_i)$

  $v'$是与$v$的$i-$等价赋值，反映了 “差的不多”的意思，即它们的赋值最多只能在$i$处不同（也就是除在$j \neq i$的时候都相同），其他地方的赋值必须完全一样（就是$v′(x_j ) = v(x_j )$），如果$i$处的赋值相同当然也可以。

• 设$v$是一阶语言$\mathcal{L}$的一个赋值，$A$是$\mathcal{L}$中的一个公式，$v \models A$（$v$满足$A$）归纳定义为
  • $v \models A$：若$A$是原子公式$A_i^n (t_1, t_2,..., t_n)$，当且仅当$(v(t_1), v(t_2),..., v(t_n)) \in \bar{A_i^n}$（即$\bar{A_i^n}(v(t_1), v(t_2),..., v(t_n))$结果为真）时，$v \models A$成立
  • $v \models \neg A$：当且仅当$v \nvDash A$（即$v$不满足$A$）时，$v \models \neg A$成立
  • $v \models A \to B$：当且仅当若$v \models A$则$v \models B$成立时，$v \models A \to B$成立
  • $v \models (\forall x_i)A$：当且仅当对于每一个与$v$的$i-$等价赋值$v′$都有$v′ \models A$
• 赋值的满足性：由归纳定义可知，任一公式$A$以及任一赋值$v$, $v$满足$A$与$v$满足$\neg A$二者有一个且只有一个成立，所以我们通常约定，若$v$满足$A$，则$v(A) = 1$，若$v$不满足$A$，则$v(A) = 0$。
  • 因此，则有
    • $v(\neg A)=\neg v(A)$
    • $v(A \to B) =v(A)\to v(B)$
    • $v((\forall x_i)A)=\wedge \{v'(A)|v'$与$v$的$i-$等价$\}$
  • 对于其他逻辑算子，容易得到
    • $v \models A \vee B$ 当且仅当$v \models A$或$v \models B$成立
    • $v \models A \wedge B$ 当且仅当$v \models A$和$v \models B$都成立
    • $v \models (\exists x_i)A$ 当且仅当存在一个与$v$的$i-$等价赋值$v′$使得$v′ \models A$
• 例题三
  • 自然数语言$\mathcal{L}_N$中，$a$是$\mathcal{L}_N$的个体常元
  • 设公式$A = A_1^2(f_1^2 (x_1, x_2), f_2^2 (x_1, x_2))$
  • 解释$I$为：
    • $v(f_1^2(x,y))=\bar{f_1^2}(v(x),v(y))=v(x)+v(y)$
    • $v(f_2^2(x,y))=\bar{f_2^2}(v(x),v(y))=v(x)\times v(y)$
    • $\bar{A_1^2}:=$“$=$”。
  • 问题：
    • 问题1：若定义赋值$v$为$v(a) = 0, v(x_i) = i$，则$v$是否满足$A$
    • 问题2：若定义赋值$v'$为$v'(a) = 0, v'(x_i) = i$，则$v'$是否满足$A$
  • 答案：
    • 问题1答案： $f_1^2(x_1,x_2)=v(x_1)+v(x_2)=1+2=3$ $f_2^2(x_1,x_2)=v(x_1)\times v(x_2)=1\times 2=2$ $A = A_1^2(f_1^2(x_1,x_2),f_2^2(x_1,x_2))=A_1^2(3,2)=(3=2)=0$ 因为$A$的最终结果为$0$，因此$v \nvDash A$

    这里(3=2)表示判断3是否等于2，因为不相等，所以结果为0

    • 问题2答案： $f_1^2(x_1,x_2)=v(x_1)+v(x_2)=2+2=4$ $f_2^2(x_1,x_2)=v(x_1)\times v(x_2)=2\times 2=4$ $A = A_1^2(f_1^2(x_1,x_2),f_2^2(x_1,x_2))=A_1^2(3,2)=(4=4)=1$ 因为$A$的最终结果为$1$，因此$v \models A$
• 例题四
  • 设公式$B = (\forall x_1)(x_1 \geq x_2)$
  • 问题：
    • 问题1：定义赋值$v(x_1) = 3$，$v(x_2) = 0$，则$v$是否满足$A$
    • 问题2：定义赋值$v′(x_1) = 3$，$v′(x_2) = 3$，则$v$是否满足$A$
  • 答案：
    • 因为已经对$x_1$和$x_2$进行赋值，所以我们直接将他们的值拿去比较即可
    • 问题1答案：$3 \geq 0$结果是正确的，此时$B=1$，因此因此$v \models B$
    • 问题2答案：$3 \geq 3$结果是错误的，此时$B=0$，因此因此$v \nvDash B$

• 对于给定的一个公式，在同一解释下，可能有两个不同的赋值分别满足或不满足该公式；
• 在不同解释下, 可能一个解释下的所有赋值都满足该公式，而另一解释下有赋值不满足该公式。

• 项替换定理
  • 定义：设$\mathcal{L}$是一阶语言，$I$是$\mathcal{L}$的一个解释，$A(x_i)$是属于$\mathcal{F(L)}$的一个公式，$x_i$是$A(x_i)$的自由变元。设项$t$关于$x_i$自由，$v$是$\mathcal{L}$在$I$中的赋值，$v′$是与$v$的$i-$等价赋值，且$v′(x_i) = v(t)$，则 $v \models A(t) 当且仅当v′ \models A(x_i)$
  • 推论： $v \models (\exists x_i)A(x_i) 当且仅当有个体常元c使得v \models A(c)$
• 自由变元重要性定理
  • 定义：设$\mathcal{L}$是一阶语言，$I$是$\mathcal{L}$的一个解释，$A \in \mathcal{F(L)}$，$v, w$是$I$中的两个赋值. 若对于$A$中的每个自由变元$x_i$都有$v(x_i) = w(x_i)$，则 $w \models A当且仅当v \models A$

公式的可满足性

• 定义：设$\mathcal{L}$是一阶语言，$I$是$\mathcal{L}$的一个解释，$A \in \mathcal{F(L)}$。若对$I$中的每个赋值$v$，都有$v \models A$，则称$A$是可满足的，$I$是$A$的一个模型, 记作$I \models A$(称$A$关于$I$是真公式)。没有模型的公式称为不可满足的。

  • 解释$I$满足公式$A$是一个整体性概念，与单个赋值$v$满足$A$完全不同
  • 对于任一个解释$I$而言，$I$不可能同时是$A$与$\neg A$的模型，即$A \wedge \neg A$没有模型

• 定理：
  • 若$I \models A \to B$且$I \models A$，则$I \models B$
  • $I \models A \to B$且$I \models B \to C$，则$I \models A \to C$
  • $I \models A \wedge B 当且仅当 I \models A 且 I \models B$
  • $I\models A 或 I \models B 可以推出 I \models A \vee B$
  • 若$I \models A$则$I \models (\exists x_i)A$
  • $I \models A 当且仅当 I \models (\forall x_i)A$
  • $I \models A 当且仅当 I \models (\forall y_1)(\forall y_2)· · ·(\forall y_n)A$

巩固习题

（习题摘自《软件理论基础》32页，第二章第 2.2小节习题）

• 习题一：

  • 设$\mathcal{L}$是一阶语言，它有$1$个个体常元$a1$，$1$个函数符$f_1^2$和$1$个谓词符$A_1^2$，设公式$A$为 $(\forall x_1)(A_1^2(x_1,a_1)\to A_1^2(f_1^2(x_1,x_1),a_1))$ $\qquad$(a)设$\mathcal{L}$的解释$I$的解释域$D_I$是整数集合$Z,\bar{a_1} = 0, \bar{f_1^2}(x, y) = x \times y,\bar{A_1^2}(x, y)$为$x < y$，问公式$A$在此解释下的意义是什么？是真是假？ $\qquad$(b)把解释$I$稍作改变，记为$I'$，设$\bar{f_1^2}(x, y) = x + y$，其余不变，问公式$A$在此解释$I'$下的意义是什么？是真是假？ $\qquad$(c)把解释$I$稍作改变，记为$I''$，设$\bar{A_1^2}(x, y)$表示$x = y$，其余不变，问公式$A$在此解释$I''$下的意义是什么？是真是假？

  • 答案： $\qquad$(a)将解释带入后，公式变为：$(\forall x_1)((x_1 < 0)\to (x_1 \times x_1< 0))$，公式意义为：对于任意的$x_1$都有当$x_1$小于零时，$x_1 \times x_1$也小于零。当$x_1$小于零时，$x_1$为负数，两个负数相乘，结果为正数，因此$x_1 \times x_1< 0$是错误的，所以公式$A$在此解释下为假。 $\qquad$(b)将解释带入后，公式变为：$(\forall x_1)((x_1 < 0)\to (x_1 + x_1< 0))$，公式意义为：对于任意的$x_1$都有当$x_1$小于零时，$x_1 + x_1$也小于零。当$x_1$小于零时，$x_1$为负数，两个负数相加，结果依然为负数，因此$x_1 + x_1< 0$是正确的，所以公式$A$在此解释下为真。 $\qquad$(c)将解释带入后，公式变为：$(\forall x_1)((x_1 = 0)\to (x_1 \times x_1= 0))$，公式意义为：对于任意的$x_1$都有当$x_1$等于零时，$x_1 \times x_1$也等于零。当$x_1$等于零时，$x_1$为零，两个零相乘，结果仍然为零，因此$x_1 \times x_1= 0$是正确的，所以公式$A$在此解释下为真。

• 习题二：
  • 设一阶语言$\mathcal{L}$中的公式$A$为 $(\forall x_1)(A_1^1(x_1)\to A_1^1(f_1^1(x_1)))$ 公式$B$为 $(\forall x_1)(A_1^2(x_1,x_2)\to A_1^2(x_1,x_2))$ 试分别作出不同的解释，使$A$与$B$有时为真，有时为假。
  • 答案：
    • 对于公式$A$：
      • 设$\mathcal{L}$的解释$I$的解释域$D_I$是整数集合$Z, \bar{f_1^1}(x) = x, \bar{A_1^1}(x)$为$x < 0$，则此时公式$A$在解释$I$下变为$(\forall x_1)((x_1 < 0) \to (x_1 < 0))$，可以看出公式$A$为真；
      • 设$\mathcal{L}$的解释$I$的解释域$D_I$是整数集合$Z, \bar{f_1^2}(x) = -x, \bar{A_1^2}(x)$为$x < 0$，则此时公式$A$在解释$I$下变为$(\forall x_1)((x_1 < 0) \to (-x_1 < 0))$，可以看出公式$A$为假；
    • 对于公式$B$：
      • 设$\mathcal{L}$的解释$I$的解释域$D_I$是整数集合$Z, \bar{A_1^2}(x_1,x_2)$为$x_1 < x_2$，则此时公式$A$在解释$I$下变为$(\forall x_1)((x_1 < x_2) \to (x_2 < x_1))$，可以看出公式$B$为假；
      • 设$\mathcal{L}$的解释$I$的解释域$D_I$是整数集合$Z, \bar{A_1^2}(x_1,x_2)$为$x_1 = x_2$，则此时公式$A$在解释$I$下变为$(\forall x_1)((x_1 = x_2) \to (x_2 = x_1))$，可以看出公式$B$为真；
• 习题三：
  • 证明：在任何一阶语言$\mathcal{L}$中，公式$(\forall x_i)A(x_i) \to A(x_i)$在$\mathcal{L}$的任何解释下都真的。
  • 答案：
    • 证明：设$I$是$\mathcal{L}$的任一解释，$v$是$\mathcal{L}$在$I$下的任一赋值，再设$v \models (\forall x_i)A$，则对于$v$任一$i-$等价赋值$w$都有$w \models A$，而$v$是自身的$i-$等价于，因此$v \models A$。 这表明$v \models (\forall x_i)A \to A$。故$(\forall x_i)A \to A$是逻辑有效的。
    • 解释：假设有一个关于$v$的$i-$赋值等价$w$，那么因为$v \models (\forall x_i)A$，所以这个$i-$赋值等价$w \models A$，因此，我们假设这个$w$就是$v$本身，从而$v \models A$($v$的$i-$等价赋值可以是自身)，所以，我们由$v \models (\forall x_i)A$得到了$v \models A$。故$(\forall x_i)A \to A$是逻辑有效的。