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一、题目
leetcode 三角形最小路径和
给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。
每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。
示例 1：
输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
2
3 4
6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
示例 2：*
输入：triangle = [[-10]]
输出：-10
提示：
1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 104
二、题解
可以看成一个二维数组，第一维有一个元素，第二维比前面一维多一个元素，以此类推组成的元素类似一个三角形，如果把元素从下标0开始整齐排列就类似一个等腰直角三角形，然后要找到从第一维到达最后一维的元素最小和，其中每次只能往下移动，或者往下的右边移动。
方法一
对此我们可以使用动态规划来求解，定义dp[i, j]数组，i就代表二维数组的行，j代表二维数组的列，那么dp[i, j]就表示从顶点位置[0, 0]到达位置[i, j]的最小路径和。因为每一步只能移动到下一行的相邻节点，那就是i下标必须为i + 1，而j下标可以不变或者为j + 1。所以对于第一列的元素j（j下标都为0的）只能由上一行的元素j - 1往下移动到达；同样对于每一行的最后一个元素[i ,i]只能由上一行的最后一个元素[i - 1, i - 1]移动到达；那么对于其他位置j不等于0，i不等于j的元素[i, j]可以由[i - 1, j]移动到达，或者由[i - 1, j - 1]移动到达。那对于顶点位置的元素，它的最小路径和就是本身，然后我们再遍历其余元素，对于j等于0的最小路径和就是上一行的元素最小路径和加上本身即dp[i][0] = dp[i -1][0] + triangle[i][0]；对于i对于j的最小路径就是上一行的元素最小路径加上本身即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + triangle[i][j]，那对于其他的位置最小路径和就是dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - 1]中较小的一个加上triangle[i][j]。最后我们需要再遍历最后一行的元素，找到最后一行中最小路径和最小的一个就是最终的答案了。
三、代码
方法一 Java代码
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int size = triangle.size();
int[][] dp = new int[size][size];
dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
for (int i = 1; i < size; ++i) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle.get(i).get(0);
for (int j = 1; j < i; ++j) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j);
}
dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i);
}
int minimumTotal = dp[size - 1][0];
for (int i = 1; i < size; ++i) {
minimumTotal = Math.min(minimumTotal, dp[size - 1][i]);
}
return minimumTotal;
}
}
时间复杂度：O(n^2)，需要遍历三角形的所有元素。
空间复杂度：O(n^2)，需要一个二维数组dp。
