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一阶语言$\mathcal{L}$的符号

• 变元符号（变量符号）

  • 格式：$x_{1},x_{2},...$
  • 含义：可以看作程序中的变量，或者表示每天的平均温度

• 谓词符号

  • 格式：
    • $A_{1}^{1},A_{2}^{1},...$
    • $A_{1}^{2},A_{2}^{2},...$
    • ...
    • $A_{1}^{n},A_{2}^{n},...$
  • 含义：谓词符号表示进行判断，结果为真或假，可以对一个变元进行判断，比如判断$x_1$的值是否为零，可以用$A_1^1(x_1)$表示；也可以对多个变元判断，比如判断$x_1+x_2$是否大于$x_3$，可以用$A_2^1(x_1,x_2,x_3)$表示。
  • 谓词符号集用$p$表示

• 函数符号

  • 格式：
    • $f_{1}^{1},f_{2}^{1},...$
    • $f_{1}^{2},f_{2}^{2},...$
    • ....
    • $f_{1}^{n},f_{2}^{n},...$
  • 含义：函数符号表示对数值进行处理，比如对$x_1$加一，可以用$f_1^1(x_1)$表示；
  • 函数符号集用$\mathcal{F}$表示

• 个体常元符号（常值符号）：

  • 格式：$a_{1},a_{2},...$
  • 含义：个体常元符号可以视为没有任何变元的函数符号，可以看作程序中的常量，或者表示天空的颜色是蓝色等含有
  • 常元符号集用$C$表示
  • 因为常元可以看作0元函数，所以常元也叫零元函数

• 连接符：$\neg \vee \wedge \to$

• 量词符：$\forall,\exists$

  $(\exist x_i)A$等价于$\neg(\forall x_i)\neg A$

• 辅助符：$),($

• 例题一：

  • 假设有一阶自然数语言$\mathcal{L}_n$：
    • 变元符：$x_{1},x_{2},...$表示自然数变元
    • 个体常元符号：$a_{1}$表示自然数0
    • 谓词符号：
      • $A_{1}^{1}$ 表示非零判断
      • $A_{1}^{2}$ 表示相等判断
      • $A_{1}^{1}$ 表示小于等于判断
      • $A_{1}^{1}$ 表示大于等于判断
    • 函数符：
      • $f_{1}^{1}$ 表示后继函数，比如$x_{1}$的后继函数是$x_{1}+1$
      • $f_{1}^{2}$ 表示加法函数
      • $f_{2}^{2}$ 表示乘法函数
  • 问题
    • 问题1：$A_{1}^{1}(f_{1}^{1}(x_1))$的含义是什么？
    • 问题2：$\forall x\exist y(A_{1}^{2}(f_{1}^{1}(x),y))$的含义是什么？
  • 答案：
    • 问题1答案：自然数$x_1$的后继不为 0，即$x_{1}+1\neq 0$
    • 问题2答案：任给自然数$x$, 存在自然数$y$, 使得$x + 1 = y$

项

• $\mathcal{L}$中的项（用符号$t$表示）由变元、个体常元和函数符构成：

  • 每个变元、个体常元都是项；
  • 设$f_i^n$是$\mathcal{L}$的$n$元函数符号，$t_{1},t_{2},...,t_{n}$是项，则$f_i^n(t_{1},t_{2},...,t_{n})$是项；
  • $\mathcal{L}$中的项均是由上面两种方式组成，由Backus Naur可以写成： $t ::= a | x | f_i^n(t_{1},t_{2},...,t_{n})$ 其中$x$取遍每一个变元的集合$var$，$a$取遍$\mathcal{F}$中的零元函数符号，$f$取遍$\mathcal{F}$中的元$n>0$的符号

  • $::=$是“被定义为”的意思
  • 用符号$\mathcal{T}_{\mathcal{L}}$表示一阶语言$\mathcal{L}$的全体项之集

• 闭项：不含变元的项。

  • 范例：一阶自然数语言$\mathcal{L}_{\mathcal{N}}：f_1^1(a),f_1^2(f_1^1(a),a),f_2^2(f_1^1(x_1),f_1^2(x_2,x_3))$都是项，而$f_1^1(a),f_1^2(f_1^1(a),a)$不含变元，称为闭项。

项通常表示对象，可以作为句子的主语，也因为没有谓词，不能表示为命题

一阶语言$\mathcal{L}$的公式

• 定义：
  • 若$P \in P$是$n \geqslant 1$元的谓词符号，$t_{1},t_{2},...,t_{n}$是$\mathcal{F}$上的项，则$P(t_{1},t_{2},...,t_{n})$是公式；
  • 若$\phi$是公式，则$(\neg \phi)$也是公式；
  • 若$\phi$和$\psi$是公式，则$\phi \vee \psi,\phi \wedge \psi,\phi \to \psi$也是公式；
  • 若$\phi$是公式，$x$是变元，则$(\forall x \ \phi)$和$(\exist x \ \psi)$也是公式；
• $\mathcal{L}$的公式分为两种：
  • 原子公式（又叫做没有子公式的公式）：
    • 定义：设$A_n$是$n$元谓词，$t_{1},t_{2},...,t_{n}$是项，$A_i^n(t_{1},t_{2},...,t_{n})$称为原子公式。
    • 范例：$\mathcal{L}_{\mathcal{N}}：A_1^1(f_1^1(x_1),a),A_2^2(f_1^1(x_1),f_1^2(x_2,x_3))$
  • 合式公式（又称谓词公式）：

    • 定义：（由BNF范式给出如下定义） $A ::= 原子公式 | \neg A | A \vee A | A \wedge A | A \to A | (\forall x_i)A | (\exist x_i)A$ 因为$(\exist x_i)A$可以简写为$\neg (\forall x_i)\neg A$，所以$\mathcal{L}$公式可以简写为： $A ::= 原子公式 | \neg A | A \to A | (\forall x_i)A$

    • 范例：$(\forall x_1)\neg A_1^2(f_1^1(x_1),f_2^2(x_1,x_2)), (\forall x_1)(\neg A_2^1(x_1, a) \to (\exist x_2)A_2^1(x_1, f_1^1 (x_2)))$

  • 用$\mathcal{F}({\mathcal{L}})$表示全体公式集，包含所有可能的公式。以后讲到的很多定理中经常用到，某一个公式$A$满足$A \in \mathcal{F}({\mathcal{L}})$，表示$A$可以是任何一个公式，再由此推出其他定理。
  • 任何原子公式都是合式公式。

• 符号优先级约定：
  • $\neg,\forall y,\exist y$优先级最高
  • 其次是$\vee,\wedge$
  • 然后是右结合$\to$
• 范例：
  • 将下面的语言翻译成谓词逻辑公式：我父亲的每个儿子都是我的兄弟。
  • 当我们将"父亲"看作一个谓词符号时：
    • 选择常量$m$表示为"我"，选择谓词集$\{S,F,B\}$，其中，$S(x,y):x$是$y$的儿子，$F(x,y):x$是$y$的兄弟，$B(x,y):x$是$y$的父亲
    • 谓词逻辑公式为：$\forall x \forall y (F(x,m)\vee S(y,x)\to B(y,m))$
    • 公式含义：对所有$x$和$y$，若$x$是$m$的父亲，$y$是$x$的儿子，则$y$是$m$的兄弟
  • 当我们将"父亲"看作一个函数符号时：
    • $m、S、B$与上面保持一致，用$f$表示一个变元的函数，返回值是该变元的父亲，此时，因为父亲存在且唯一，所以$f$确实是要给函数，而不仅仅是一个关系
    • 谓词逻辑公式为：$\forall x (S(x,f(m)) \to B(x,m))$
    • 公式含义：对所有的$x$，若$x$是$m$的父亲的儿子，则$x$是$m$的兄弟

约束变元与自由变元

• 定义：公式中出现$(\forall x_i)A$或者$(\exist x_i)A$时，$A$叫做 $\forall x_i$或者$\exist x_i$的辖域, 此时$A$中的变元$x_i$称为$A$的约束变元，不是约束变元的变元称为自由变元。
• 例题二：
  • 问题：
    • 问题1：$\mathcal{L}_{\mathcal{N}}：(\forall x_1)\neg A_1^2(f_1^1(x_1),f_2^2(x_1,x_2))$，则公式中，有哪些变元以及他们出现的次数？
    • 问题2：$\mathcal{L}_{\mathcal{N}}：A_1^2(x_1,a) \wedge (\exist x_1) A_1^1(f_1^1(x_1),a)$公式中，$x_1$每一次出现时，是什么变元？
  • 答案
    • 问题1答案：$x_1$是约束变元，约束出现3次；$x_2$是自由变元，出现1次。
    • 问题2答案：$x_1$出现3次，第1次是自由变元，后2次是约束变元。
• 项的自由性
  • 定义：若$t$对$A$中的$x_i$的每一个自由出现代入都不会使得$t$中的变元失去自由性，则项$t$称为对公式$A(x_i)$的自由变元$x_i$是自由的。
  • 例如：公式$(\forall x_1)(\forall x_2)(A_2^1(x_1, x_2) → A_1^1(x_2))$中无自由变元，对于任何项$t$（比如$t=f_2^1(x_1,x_2),t'=f_2^3(x_1)$）关于此公式中的$x_1, x_2$都是自由的，这就叫做项的自由性。
  • 例题三：
    • 问题：
      • 公式$(\forall x_1)(A_1^3(x_1, x_2, x_3) \to A_2^3(x_1, x_2, x_3))$中
        • （1）$t_1= f_1^2(x_1,x_2)$，项$t_1$对$x_2$是否是自由的？
        • （2）$t_2 = f_1^2(x_1,x_2)$，项$t_2$对$x_3$是否是自由的？
        • （3）$t_3 = f_2^2(x_1)$，项$t_3$对$x_1$是否是自由的？
        • （4）$t_4 = f_2^1(x_2)$，项$t_4$对$x_2$是否是自由的？
        • （5）$t_5 = f_1^1(x_1)$，项$t_5$对$x_2$是否是自由的？
    • 答案：
      • 公式内具有自由变元$x_2,x_3$，约束变元$x_3$
        • （1）若用项$t_1$代入$x_2$会得到如下的公式，$(\forall x_1)(A_1^3(x_1,f_1^2(x_1,x_2), x_3) \to A_2^3(x_1, f_1^2(x_1,x_2), x_3))$，导致公式原$x_2$的位置产生了新的约束$x_1$，因此项$t_1$对$x_2$是不自由的。
        • （2）若用项$t_2$代入$x_3$会得到如下的公式，$(\forall x_1)(x_1,x_2, f_1^2(x_1,x_2)) \to A_2^3(x_1,x_2, f_1^2(x_1,x_2)))$，导致公式原$x_3$的位置产生了新的约束$x_1$，因此项$t_2$对$x_3$是不自由的。
        • （3）若用项$t_3$代入$x_1$会得到如下的公式，$(\forall x_1)(A_1^3(f_1^2(x_1), x_2, x_3) \to A_2^3(f_1^2(x_1), x_2, x_3))$，在公式原$x_1$的位置上并没有产生新的约束，所以$t_3$对$x_1$是自由的。
        • （4）若用项$t_4$代入$x_2$会得到如下的公式，$(\forall x_1)(A_1^3(x_1, f_2^1(x_2), x_3) \to A_2^3(x_1, f_2^1(x_2), x_3))$，在公式原$x_2$的位置上并没有产生新的约束，所以$t_4$对$x_2$是自由的。
        • （5）若用项$t_5$代入$x_2$会得到如下的公式，$(\forall x_1)(A_1^3(x_1, f_1^1(x_1), x_3) \to A_2^3(x_1,f_1^1(x_1), x_3))$，导致公式原$x_2$的位置产生了新的约束$x_1$，因此项$t_5$对$x_1$是不自由的。