本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

形式系统$L$

• 命题逻辑形式系统$L$的组成：
  • 命题逻辑公式集$F(S)$
  • 三条公理：
    • 宽容律：$L_{1}:A \to (B \to A)$
    • 蕴含分配律：$L_{2}:(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))$
    • 逆否命题法则：$L_{3}: (\neg A \to \neg B) \to (B \to A)$
  • 一条推理规则：Modus Ponens 规则（简称$MP$规则），又叫分离规则 $MP$：当我们知道了由$A$可以推导出$B$，也就是$A \to B$，而我们知道了$A$，则我们可以由此得到$B$，公式表示为： $\frac {A \to B,A}{B}$

• $L_{1},L_{2},L_{3}$是公理模式，由此可以得到无穷多个公理
• 使用逆否命题法则时注意，反过来推$( A \to B) \to (\neg B \to\neg A)$是不成立的
• 若$A \in F(S)$，那么也意味着$\neg A,\neg \neg A,\neg \neg\neg A,... \in F(S)$
• 不需要任何前提的公式叫做公理

$L$的证明与定理

• $L$中的一个证明是一个有限公式序列：$A_{1},A_{2},...,A_{n}$，这些公式分为三类
  • 第一类：$A_{i}$本身就是公理；
  • 第二类：存在$j,k<i$，使得$A_{i}$是由$A_{j}$和$A_{k}$使用$MP$规则推导出来的定理；
  • 第三类：最后一项公式$A_{n}$是推导出来的最终定理，通常称为结论，记作$\vdash A_{n}$，$n$叫做证明的长度。

每个公理都是定理，定理也可以当作公理适用于证明中

• $L$的证明题：$\vdash (p_{1} \to p_{2}) \to (p_{1} \to p_{1})$
  • 证明： $\begin{aligned} & (1)p_{1} \to (p_{2} \to p_{1}) && L_{1} && 公理一宽容律 \\ &(2)(p_{1} \to (p_{2} \to p_{1})) && L_{2} && 公理二蕴含分配律 \\ &(3) (p_{1} \to p_{2}) \to (p_{1} \to p_{1}) \qquad && MP(1,2) \qquad &&根据第一条公式(1)和第二条公式(2)进行推理\\ \end{aligned}$

答案解释： > - 像这样没有前提，直接需要证明结果的题，我们需要借助三条公理和推理规则来进行证明。 > 1. 首先，观察结论，发现结论$(p_{1} \to p_{2}) \to (p_{1} \to p_{1})$的格式和公理二的结论很相似$(A \to B) \to (A \to C)$，所以我们要寻找符合公理二前提的式子$A \to (B \to C)$； > 2. 我们发现$p_{1} \to (p_{2} \to p_{1})$符合公理二的前提，而且这个式子也和公理一$A \to (B \to A)$完全相符，因此可以直接将$p_{1} \to (p_{2} \to p_{1})$拿来作为公式使用； > 3. 因此，在证明过程中，我们根据公理一，得出公式$p_{1} \to (p_{2} \to p_{1})$，再根据公理二，得到公式(1)和结论的推理关系，最终，通过推理规则$MP(1,2)$，根据公式(1)和公式(2)得到我们需要的结论公式(3)。

推演

• 设$\Gamma \subset F(S)$, 从$\Gamma$出发的$L$中一个推演是一有限公式序列$A_{1},A_{2},...,A_{n}$，这些公式分为四类：
  • 第一类：$A_{i}$本身就是公理；
  • 第二类：存在$j,k<i$，使得$A_{i}$是由$A_{j}$和$A_{k}$使用$MP$规则推导出来的公理；
  • 第三类：最后一项公式$A_{n}$称为$L$中的一个定理，记作$\vdash A_{n}$，n叫做证明的长度；
  • 第四类：$A_{i}$是$\Gamma$中的成员。（在$L$的一个证明是一个有限公式序列中没有此类）
• 例题一：$\{A, B \to (A \to C)\} \vdash B \to C$
  • 证明： $\begin{aligned} & (1) A && \Gamma \\ & (2) B \to (A \to C) && \Gamma \\ &(3) (B \to (A \to C)) \to ((B \to A) \to (B \to C)) \qquad && L_{2} \\ &(4) (B \to A) \to (B \to C) && MP(2, 3) \\ &(5) A \to (B \to A) && L_{1} \\ &(6) B \to A && MP(1, 5) \\ &(7) B \to C && MP(4, 6) \\ \end{aligned}$

• 格式说明：左边为证明过程，每一个公式前面有一个序号，右边为标识，表示左边的公式是如何得来的，$\Gamma$表示从题目中的前提得到的，$L_{1}$表示从公理一宽容律得到的，$L_{2}$表示从公理二蕴含分配律得到的，$MP(1,5)$表示根据第一个公式(1)和第五个公式(5)推理出来的。
• 题意解析：根据题意可知，$\Gamma =\{A, B \to (A \to C),C\}$，我们要根据公式$A$和公式$B \to (A \to C)$推导出公式$C$

• 演绎定理：设$\Gamma \subset F(S),A,B \in F(S)$，若$\Gamma \cup \{A\} \vdash B$，则$\Gamma \vdash A \to B$
  • 演绎定理解释为：集合$\Gamma$含于集合$F(S)$，公式$A,B$属于集合$F(S)$，如果集合$\Gamma$和集合$\{A\}$的并集可以推演出公式$B$，那么集合$\Gamma$可以推演出公式$A \to B$
  • 演绎定理的逆定理也成立：若$\Gamma \vdash A \to B$，则$\Gamma \cup \{A\} \vdash B$
  • 例题二：$\vdash \neg A \to (A \to B)$
    • 证明： 由演绎定理可知，我们只需证明 $\{\neg A\} \vdash (A \to B)$ 又由演绎定理可知，我们只需证明 $\{\neg A, A\} \vdash B$ $\begin{aligned} & (1) \neg A && \Gamma \\ & (2) A && \Gamma \\ &(3) \neg A \to (\neg B \to \neg A) \qquad && L_{1} \\ &(4)\neg B \to \neg A && MP(1, 3) \\ &(5) (\neg B \to \neg A) \to (A \to B) && L_{3} \\ &(6) A \to B && MP(4, 5) \\ &(7) B && MP(2, 6) \\ \end{aligned}$
• 三段论规则-HS 规则：$\{A \to B,B \to C\} \vdash A \to C$
• 推论：设$⊢ A \to B$ 且 $\vdash B \to C$，则 $\vdash A \to C$

可证等价关系

• 设$A,B \in F(S)$，若$\vdash A \to B$ 且 $\vdash B \to A$ 成立，则称 $A$ 与 $B$ 可证等价，记作 $A \approx B$
• 例题三：设 $A \in F(S)$，则$\neg\neg A \approx A$
  • 证明： 首先证明 $\{\neg\neg A\} \vdash A$ $\begin{aligned} & (1) \neg\neg A && 假设 \\ & (2)\neg\neg A \to (\neg\neg \neg\neg A \to \neg\neg A) && L_{1} \\ & (3) \neg\neg \neg\neg A \to \neg\neg A && MP(1,2) \\ & (4) (\neg\neg \neg\neg A \to \neg\neg A) \to (\neg A \to \neg\neg\neg A) && L_{3} \\ & (5) \neg A \to \neg \neg \neg A && MP(3.4) \\ & (6) (\neg A \to \neg \neg \neg A ) \to (\neg \neg A \to A) && \\ & (7) \neg\neg A \to A && MP(5.6) \\ & (8) A && MP(1,7) \\ \end{aligned}$ 由此得$\{\neg\neg A\} \vdash A$成立，即$\vdash \neg \neg A \to A$ 再证明 $A \vdash \{\neg\neg A\}$ $\begin{aligned} & (1) A && 假设 \\ &(2) \neg\neg\neg A \to \neg A && 根据上一个证明，推出\vdash \neg \neg(\neg A) \to( \neg A ) \\ &(3) (\neg\neg\neg A \to \neg A) \to (A \to \neg\neg A) && L_{3} \\ &(4) A \to \neg\neg A && MP(2.3) \\ &(5) \neg\neg A && MP(1,4) \\ \end{aligned}$ 由此得 $A \vdash \{\neg\neg A\}$成立，即$\vdash A \to \neg \neg A$ 因此，$\neg\neg A \approx A$

• 第一个证明的公式(2)再解释一下：由公理$L_{1}:A \to (B \to A)$可知把公理中的$A$看作$\neg \neg A$，把公理中的$B$看作$\neg \neg \neg \neg A$，此时，公理$L_{1}$就可以写作公式$\neg\neg A \to (\neg\neg \neg\neg A \to \neg\neg A)$，我们便可以直接将此公式作为前提放在推演过程中使用。
• 第二个证明的公式(2)再解释一下：由第一个证明的结论$\vdash \neg \neg A \to A$，我们可以知道，当$A \in F(S)$时，$\neg \neg A \to A$是成立的，那么，对于$\neg A \in F(S)$时，$\neg\neg\neg A \to \neg A$也是成立的，因此，此时我们将$\neg\neg\neg A \to \neg A$看作是前提在推演中直接使用。
• $A \in F(S)$时，$\vdash A \to \neg \neg A$是一个定理，意味着我们以后进行推理，可以直接使用$A \to \neg \neg A$和$\neg \neg A \to A$两个公式，比如例题四。

• 例题四：设$A, B \in F(S)$，则$(A \to B) \approx (\neg B\to \neg A)$
  • 证明： 由$L_{3}$我们可以得到 $\vdash (\neg B \to \neg A) \to (A \to B)$，所以我们只需证明 $\vdash (A \to B) \to (\neg B \to \neg A)$ 再由演绎定理可知，我们只需证明$\{A \to B\} \vdash (\neg B \to \neg A)$即可 $\begin{aligned} & (1) A \to B && 假设 \\ & (2) \neg \neg A \to A && 例题三已证定理 \\ & (3) \neg \neg A \to B && HS（1,2） \\ & (4) (B \to \neg \neg B) && 例题三已证定理 \\ & (5) \neg\neg A \to \neg \neg B && HS（3,4） \\ & (6) (\neg\neg A \to \neg \neg B)\to (\neg B \to \neg A) && L_{3} \\ & (7) \neg B \to \neg A && MP(5.6) \\ \end{aligned}$ 所以，$\{A \to B\} \vdash (\neg B \to \neg A)$，即 $\vdash (A \to B) \to (\neg B \to \neg A)$成立 因此，$(A \to B) \approx (\neg B\to \neg A)$成立

$HS$是前面讲到的三段论规则

语义蕴含 $\models$

• 定义：设符号$\Gamma \models A$表示：$\forall B \in \Gamma$，和解释$I$，若$I \models B$，则$I \models A$。此时称$\Gamma$语义蕴含$A$，$I$为$\Gamma$的模型。
• 通俗点解释：
  • 格式：$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n \models \psi$
  • 解释：当$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n$蕴含$\psi$时，表明$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n \models \psi$是有效的，也表示当$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n$为$true$时，$\psi$一定为$true$
• 范例：$p \vee q,q,r \models p$具有有效性
  • 含义：当 $p \wedge q$ 为$true$，$q$为$true$，$r$为$true$时，$p$一定为$true$. 所以$p \wedge q,q,r$蕴含$p$

可靠性与完备性

• 可靠性
  • 定义：$\forall A \in F(S)$，若$\vdash A 则 \models A$
  • 通俗点解释：令$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n$和$\psi$为命题逻辑中的公式，如果$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n \vdash \psi$是有效的， 那么$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n \models \psi$是有效的。
• 完备性
  • 定义：$\forall A \in F(S)$，若$\models A 则 \vdash A$
  • 通俗点解释：令$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n$和$\psi$为命题逻辑中的公式，如果$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n \models \psi$是有效的， 那么$\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n \vdash \psi$是有效的。