前端算法第一六二弹-杨辉三角 II

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给定一个非负索引 rowIndex，返回「杨辉三角」的第 rowIndex **行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入: rowIndex = 3
输出: [1,3,3,1]

示例 2:

输入: rowIndex = 0
输出: [1]

示例 3:

输入: rowIndex = 1
输出: [1,1]

提示:

• 0 <= rowIndex <= 33

递推

杨辉三角具有以下性质：

1. 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大再变小，并最终回到 1。
2. 第 n 行（从 0 开始编号）的数字有 n+1 项，前 n 行共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个数。
3. 第 n 行的第 m 个数（从 0 开始编号）可表示为可以被表示为组合数 $\mathcal{C}(n,m)$，记作 $\mathcal{C}_n^m$ 或 $\binom{n}{m}$，即为从 n 个不同元素中取 m 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它：$\mathcal{C}_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$
4. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n−1 行的第 i−1 个数和第 i 个数之和。这也是组合数的性质之一，即 $\mathcal{C}*n^i=\mathcal{C}* {n-1}^i+\mathcal{C}_{n-1}^{i-1}$。
5. $(a+b)^n$ 的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 n 行中的每一项。

依据性质 4，我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 i 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。

对第 i+1 行的计算仅用到了第 i 行的数据，因此可以使用滚动数组的思想优化空间复杂度。

递推式 $\mathcal{C}*n^i=\mathcal{C}* {n-1}^i+\mathcal{C}_{n-1}^{i-1}$ 表明，当前行第 i 项的计算只与上一行第 i−1 项及第 i 项有关。因此我们可以倒着计算当前行，这样计算到第 iii 项时，第 i−1 项仍然是上一行的值。

var getRow = function(rowIndex) {
    const row = new Array(rowIndex + 1).fill(0);
    row[0] = 1;
    for (let i = 1; i <= rowIndex; ++i) {
        for (let j = i; j > 0; --j) {
            row[j] += row[j - 1];
        }
    }
    return row;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(rowIndex2)$。
• 空间复杂度：O(1)。不考虑返回值的空间占用。