统计学 #04 - 概率论介绍
基本概念，如联合、交叉和条件概率，以及维恩图和概率树的视觉化
照片：Simon BergeronUnsplash
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今天，我们将讨论概率问题。如果你正在开始学习统计学，或者你只是想回忆一些基本概念，这个系列是为你准备的
什么是概率？
用一句话来说，概率就是某件事情发生的可能性有多大。
例如，当你在早上出门前查看天气预报应用程序时，应用程序显示将是一个阳光明媚的日子，只有5%的机会下雨，你可能不会带雨伞或雨衣，因为不太可能下雨。不过这也不是不可能的，因为天气预报并不总是准确的，即使它显示0%的下雨机会，也可能会下雨。它们是通过收集大量关于温度、湿度、风等方面的数据进行预测，以确定大气条件在未来可能如何演变。
因此，概率可以帮助人们和公司根据收集的数据和过去的经验，考虑预测的结果，做出明智的决定。
如何计算和显示概率
首先，让我们看看一个最简单的例子，在这个例子中我们可以进行概率性思考：掷硬币。
当你投掷硬币时，只有两种可能的结果**（事件**）：正面_或_反面。对于一个标准的硬币，这两个事件发生的可能性相同，也就是说，我们有50%的机会得到正面，50%的机会得到反面。
在这个例子中，这两个可能的事件可以表示为：。
- (_P（正面）--_硬币落在正面的概率
- P(tails)--硬币落在尾巴上的概率
例如，如果我们想找到_P(head)_，我们需要用_head_的发生方式除以结果的总数，如下所示。
概率可以用分数、小数或百分比表示，只要所有概率的总和等于1或100%。在这种情况下，我们可以说 P(人头)=1/2或0.5或50%。
为了概括，请考虑以下公式。
其中
- _P(A)_是事件_A_发生的概率。
- _n(A)_是_A_可能发生的方式的数量。
- n(S)是结果的总数。
结果的总数也被称为样本空间，这里用字母S表示。
每本统计书中的另一个常用符号是补充事件**（A**′）。
P(A′)是事件A不发生的概率，可以显示为。
在我们的例子中，头 不发生的概率也是50%。
用维恩图可视化概率
将概率可视化的一个简单方法是使用维恩图。维恩图可以帮助我们直观地看到每种情况的概率，以及它们的交叉点和样本空间。
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请注意，上面的维恩图在视觉上为我们提供了关于概率的宝贵信息。它显示了两个圆圈，代表投掷硬币后得到正面或反面的概率。请注意，这两个圆圈是相互分开的，因为这两个事件之间没有交集，也就是说，一枚硬币不可能既有正面也有反面朝上落地。
这意味着这两个事件（头和尾）是相互排斥的。
请注意，样本空间也在我们的图中得到了体现。在这里，头和尾涵盖了整个样本空间内的所有事件，除了它们之外，没有其他可能的事件，用_0_表示。这意味着，头和尾是集体的穷尽性事件。
既然我们谈到了互斥的事件，现在让我们展示一个事件相交的图。
假设我们从一副牌中随机抽取一张牌。所选的牌是红色花色的国王的概率是多少？让我们考虑一副包含54张牌的牌，分为4种花色--黑桃和梅花 （黑色），红心和钻石 （红色）。每种花色都包含从2到10的牌，一张J，一张Q，一张K和一张A。此外，我们还有两个没有颜色的小丑。
那么，我们如何画一个维恩图来帮助我们直观地了解得到红色花色（红心或钻石）的国王的概率呢？
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这种情况比硬币的例子要复杂一些。54张牌中有4张是国王，54张中有26张是红色花色的。然而，这些事件可能同时发生，我们有2种可能选到一张既是国王又是红色花色的牌，大约占4%的可能性。
请注意，这次我们在圆圈外有一个值（0.481）。它代表所选的牌既不是国王也不是红色花色的概率。
交叉和联合
为了理解交叉和联合的概念，让我们继续研究上一个例子。我们已经知道_P（国王）和_P（红色），如下图所示。
我们可以把这张牌是国王和红色的概率（国王和红色的交集）写成如下。
有了这些信息，我们可以确定另一个数值。这张牌是国王或红色的概率（A和B的联合）。
条件性概率
这里是事情开始变得更有趣的地方!当我们将一个条件应用于某些概率时，我们试图确定在另一事件_B_已经发生的情况下，事件_A_发生的概率。
条件概率可以显示为P(A|B)，我们可以用下面的公式找到它。
进一步说，我们现在有另一种方法来寻找两个事件之间的交集。
或
因为_P（A∩B）=P（B∩A）_。
用概率树可视化概率
当我们处理条件概率时，用维恩图来可视化它们可能会变得很棘手。这时，概率树就派上用场了。概率树的基本结构如下。
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现在，让我们思考一下我们之前做的卡组练习，但这次我们要做一些改变。假设我们已经知道我们拿的是一张红牌。这张牌是国王的概率是多少？概率树又如何帮助我们将其可视化呢？
首先，让我们应用条件概率的方程式。请注意，我们要测量的是，在这张牌是红色花色的情况下，P（King）。
现在我们来检查一下概率树。
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注意概率树如何帮助我们理解我们正在处理的概率。请记住，这是一个非常简单的例子，为了更好地理解，这些数值都是四舍五入的。根据你要预测的事件，树的表现形式可能有几个不同的附加分支。
结论
我希望这篇文章能帮助你快速掌握概率，如何计算概率，以及如何利用维恩图和概率树的优势，使你正在处理的概率可视化。
这不是一份关于概率论的详尽材料。如果你想更深入地了解这个主题，再进一步就是研究其他关键理论，如总概率法和贝叶斯定理。
总结一下，让我们回顾一下今天看到的内容。
计算概率
- 一个事件A发生的概率是A可能发生的方式的数量除以可能结果的总数。
- 相互排斥的事件不能同时发生（如头和尾）。
- 事件A的补充是事件不发生。A不发生的概率用P（A′）表示。
交叉
- 事件A 和 B发生的概率是A和B的交集**。**
- 它用_P(A∩B)_表示。
- 如果A和B是相互排斥的事件，P(A∩B)=0。
联合
- 事件A 或 B发生的概率是A和B的联合的概率。
- 它用_P(A∪B)_表示。
条件性概率
- 它是在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率。
- 它用_P(A|B)_表示。
概率的可视化
- 维恩图是可视化概率的好方法。它可以显示样本空间中所有事件的概率，以及它们的结合点和交叉点。
- 概率树对于可视化复杂的概率更为有用，例如，当条件适用时。
参考文献
[1] Griffiths, D. Head First Statistics:A Brain-Friendly Guide.O'Reilly, 2008.
Statistics #04 - Introduction to Probability最初发表于Towards Data Scienceon Medium，在那里人们通过强调和回应这个故事继续进行对话。
