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题目链接：386. 字典序排数

题目描述

给你一个整数 n ，按字典序返回范围 [1, n] 内所有整数。

你必须设计一个时间复杂度为 O(n) 且使用 O(1) 额外空间的算法。

提示：

$1 \leqslant n \leqslant 5 * 10^4$

示例 1：

输入： n = 13
输出： [1,10,11,12,13,2,3,4,5,6,7,8,9]

示例 2：

输入： n = 2
输出： [1,2]

题意整理

题目非常简短，让我们返回 [1, n] 内所有整数按照字典序排序后的结果，并且有复杂度要求。

解题思路分析

习惯性动作：首先确定题目数据范围 $5 * 10^4$ ，这个数据大小是不能接受 $O(n^2)$ 的时间复杂度，可以接受的是 $O(n \log_2 n)$ 和 $O(n)$ 的时间复杂度。

我们很容易想到的做法是 $O(n)$ 遍历一遍 n 个数字，将每个数字转换成字符串的形式，然后对其进行 $O(n\log_2 n)$ 的字符串排序。

显然这样做是可以通过所有测试的，但是不符合题目的要求，题目要求设计一个时间复杂度为 $O(n)$ 且使用 $O(1)$ 额外空间的算法，因此我们不能使用直接排序的方法。排序的方法使用了 $O(n\log_2 n)$ 的时间复杂度， $O(n)$ 的空间复杂度。

那我们考虑一下对于一个整数 num，它的下一个字典序整数应该怎么求：

首先可以想到的是在 num 后面直接添加一个 0 这肯定是 num 的下一个字典序整数，但是我们需要考虑当 num 后面添加一个 0 后也就是 num * 10 的大小是否超过了 n，因为题目要求我们对 n 以内的数字进行字典序排序，所以我们可以得到求 num 的下一个字典序整数方法为：如果 num * 10 <= n，那么说明 num * 10 是 num 的下一个字典序整数；
其次我们考虑剩余情况，也就是如果 num * 10 > n 的情况：那么我们可以对 num 进行 +1 操作，同样我们需要考虑当 num + 1 后是否超过了 n，并且考虑边界情况：当 num % 10 == 9 时我们对 num 进行 +1 操作其实就相当于对 num 进行 (num / 10) + 1 操作，那不就是对 num 的上一层进行 +1 操作，所以当 num * 10 > n 时，我们可以求得 num 的下一个字典序整数方法为：如果num * 10 > n，那么 num + 1 是下一个字典序整数，但是需要判断 num 末尾的数位已经搜索完成的情况：如果 num % 10 == 9 或 num + 1 > n，表示 num 末尾的数位已经搜索完成，我们需要一直回退至 num % 10 != 9 且 num + 1 <= n 的那一位进行 num + 1 操作。这里回退上一位也就是 $\textit{num} = \Big \lfloor \dfrac{\textit{num}}{10} \Big \rfloor$ ，即 num = num / 10;

具体实现

字典序最小的整数为 num = 1，我们从它开始，然后依次获取下一个字典序整数，加入结果中，结束条件为已经获取到 n 个整数。
对于一个整数 num 的下一个字典序整数获取方法：
- 当 num * 10 <= n 时我们直接 num *= 10
- 否则对 num 进行 +1 操作，但是在进行 +1 操作前需要判断 num 末尾的数位已经搜索完成的情况，回退至 num % 10 != 9 且 num + 1 <= n 的那一位进行 num + 1 操作。

复杂度分析

时间复杂度： $O(n)$ ，其中 n 为整数的数目。获取下一个字典序整数的最坏时间复杂度为 $O(\log n)$ ，但 while 循环的迭代次数与 num 的末尾连续 9 的数目有关，在整数区间 $[1, n]$ 中，末尾连续的 9 的数目为 k 的整数不超过 $\Big \lceil \dfrac{n}{10^k} \Big \rceil$ 个，其中 $1 \le k \le \lceil \log_{10} n \rceil$ ，因此总迭代次数不超过 $\sum_k k \Big \lceil \dfrac{n}{10^k} \Big \rceil \le 2n$ ，总时间复杂度为 $O(n)$ 。
空间复杂度： $O(1)$ 。返回值不计入空间复杂度。

需要注意的是严格来说递归实现的 DFS 空间复杂度是 $O(\log_{10} n)$ 不满足题目要求的 $O(1)$ ，而用迭代实现的空间复杂度满足 $O(1)$ 。

代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> lexicalOrder(int n) {
        //答案数组res
        vector<int> res;
        res.clear();
        //初始化字典序最小的整数为1
        int num = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            //从第1个到第n个按照字典序压入答案数组res
            res.push_back(num);
            //获取num的下一个字典序整数
            if(num * 10 <= n){
                num *= 10;
            }
            else{
                //考虑 +1 后大于 n 和 num % 10 = 9 的边界情况
                while(num + 1 > n || num % 10 == 9){
                    //回退上一层
                    num /= 10;
                }
                num++;
            }
        }
        return res;
    }
};

总结

该题本质上是对一颗节点数量为 10（节点从 0 到 9），形态类似字典树的多阶树进行遍历。此外还有一道类似于这题的进阶版本：440.字典序的第K小数字

结束语

我们总在仰望和羡慕别人，一回头，却发现自己正被别人仰望和羡慕着。其实每个人都有属于自己的幸福，只是你的幸福，常常在别人眼里。与其总是与别人攀比，不如珍惜此刻所拥有的。把握当下的生活，才能通往明天的幸福。