canvas：我是怎么把微积分用在动画上的

dkplus
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我在青少年时期产生了探寻存在之意义的渴求，大学期间就只学习了文学与哲学等人文学科，所以我并不知道别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是上帝的语言”。——《微积分的力量》

这句话我是感同身受的，我高中大学都是文科，意识到它们的作用时已经是相见恨晚。

说个故事

我读大一的时候（2015年），有门课叫西方经济学，现在很多东西我都忘了，唯一记得的就是边际效应。

在微观经济学中，边际效用（英语：Marginal utility），又译为边际效应，是指每新增（或减少）一个单位的商品或服务，它对商品或服务的收益增加（或减少）的效用，也即是“效用──商品或服务量”图的斜率。——维基百科

当时学边际效应，老师要求我们计算收益曲线的斜率，也就是对曲线求导。

图片

我只觉得很神奇，但不知道为什么求导就能得出边际收益曲线，而且这玩意跟微积分很像。

微积分是什么

我不打算涉及任何数学符号表示的公式，我会引用一段话来阐述微积分：

为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象（不管它看起来有多么狂野和复杂），把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物，分析这些部分，然后把结果加在一起，就能理解最初的那个整体。——《微积分的力量》

简单来说，微积分可分为微分和积分，分解的过程叫微分，叠加的过程叫积分。

以我们中学最熟悉的位移、速度、加速度举例：

  1. 微分过程：位移->速度->加速度

  2. 积分过程：加速度->速度->位移

图片

微积分与动画的关系

根据上面的物理例子，我们同样能对动画得出相似的结论：

  1. 微分过程：动画->帧->帧变化

  2. 积分过程：帧变化->帧->动画

为什么可以呢？

因为动画也是连续的过程，人眼识别连续图像的速度是24帧/秒，只要在1秒内塞下24张静态图片，那么我们就认为他是动画；如果1秒只有那么几张，我们可能认为它是PPT。

下图是MIT的经典力学公开课，教授做了一个自由落体运动的实验，关掉所有的灯，留下一台按一定频率闪烁的灯，用相机长曝光记录轨迹。图片

有了这张轨迹图，即使它不会动，我们也能感受到球在做自由落体运动，这就是积分学在摄影长曝光上展示的魅力，包括瀑布、星轨等照片亦是如此，换句话说，摄影就是进光量的积分过程（说这话的时候感觉自己升华到了哲学层次

那如果频闪一次拍一张照片，这些照片连续播放起来就是动画，像小时候看的连环画一样。

图片

（图不会动，不是你网络不行，而是我没找到动图）

关于RAF

什么是RAF

window.requestAnimationFrame() 告诉浏览器——你希望执行一个动画，并且要求浏览器在下次重绘之前调用指定的回调函数更新动画。该方法需要传入一个回调函数作为参数，该回调函数会在浏览器下一次重绘之前执行。——MDN

RAF就是为了动画而生的函数，会根据屏幕的刷新率执行。如果屏幕的刷新率为60Hz，就是1秒内最多能连续播出60张静态画面。

递归调用RAF做动画

在回调函数再次调用RAF，就能做到连续绘制图像。

  const animate = () => {
    // 每一帧的绘制
    update();
    requestAnimationFrame(animate);
  };
  animate();

是否清除前一帧的残留

上面的代码并没有清除上一帧的残留，动画会像长曝光一样出现轨迹：

图片

清除残留很简单，在绘制下一帧前调用上一篇文章提到的橡皮擦ctx.clearRect即可：

  const animate = () => {
    // 先清除画布
    ctx.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
    update();
    requestAnimationFrame(animate);
  };
  animate();

图片

如果想来点残影，像流星一样带一条尾巴，只要清除残留的时候不完全清除即可，这里就不能用橡皮擦了，要用ctx.fillRect重新覆盖一个带透明度的背景色：

  const animate = () => {
    // 覆盖带透明度的背景色
    ctx.fillStyle = 'rgba(255,255,255,0.1)';
    ctx.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
    update();
    requestAnimationFrame(animate);
  };
  animate();

图片

实现一个简单的二维粒子运动

说了这么多，现在就着手实践一下

基本的代码框架

  1. 粒子类，包含位置(x,y)，绘制方法（画圆），更新数据（改变位移）

  2. 动画，递归调用RAF来更新粒子的位移，这里就是运用积分学的地方

class Particle {
  x,
  y,
  ...
  constructor(props) {...}
  draw() {
    ...
  }
  update() {
        ...
    this.draw();
  }
}

const p = new Particle({
  ...
});

const animate = () => {
  ctx.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
  p.update();
  requestAnimationFrame(animate);
};
animate();

实践积分方程

我们先要找到粒子运动微分的部分，回想一下我们上面提到的：位移->速度->加速度。

我们抛开加速度不说，速度(vx,vy)就是位移(x,y)微分后的结果，反过来只要我们求出粒子的速度(vx,vy)，在每一帧更新的时候使用如下公式更新位移：

下一帧的位置=当前帧的位置+速度

那么，第n帧的位置就是n个速度积分后的结果：

// 第一帧
S1=v0
// 第二帧
S2=v0+v1
// 第三帧
S3=v0+v1+v2
...
// 第n帧
Sn=v0+v1+...vn-1

我们设速度为(1,1)，写进update方法里：

class Particle {
  ...
  update() {
    // 其他操作
    ...
    // 积分过程
    this.x+=1;
    this.y+=1;
    this.draw();
  }
}

得出的效果就会类似下图所示：

图片

つづく

本文引入微积分简单介绍了动画的绘制，后面的篇章就会涉及到动画交互、向量、力等更有兴趣的东西。

又到了引流时间，欢迎大家关注dkplus公众号，聊一些图像相关的技术。

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