本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

基本定义

• 推理的定义：从一组前提合乎逻辑地推出结果的思维过程。
• 比如我们有一堆叫做$G_1,G_2...G_n$的前提，在这些前提均成立的情况下，我们可以得到一个叫做$H$的结论，这就叫做推理。类似于生活中的，提前：我课前预习，我上课做笔记，我下课及时复习，就可以推出我可以通过期末考试。
• 而在数学中，我们将$G_1,G_2...G_n$和$H$称为公式，当且仅当对任意解释$I$，如果$I$使得$G_1 \wedge G_2 \wedge ... \wedge G_n$为真，则公式$H$的结果也为真，这就叫做数学上的推理。
• 公式：
  1. 推理公式：$G_1,G_2...G_n \Rightarrow H$
  2. 通常，用集合$\Gamma$来表示一组前提，记作$\Gamma=\{G_1,G_2...G_n \}$，此时，推理公式也可写成：$\Gamma \Rightarrow H$

• 在这里，$\Rightarrow$也叫做蕴含，只不过这个蕴含表示的是公式之间的关系，我们之前学的蕴含$\to$是命题变元的运算符。
• 有时，我们使用$\vdash$代替$\Rightarrow$来表示公式之间的蕴含关系，如$\Gamma \vdash H$
• 当$G_1,G_2...G_n$能推出$H$的时候，我们称$G_1,G_2...G_n \Rightarrow H$为有效的，否则称为无效的。

• 定理：当且仅当$(G_1 \wedge G_2 \wedge ... \wedge G_n) \to H$为永真公式时，前提集合$\Gamma=\{G_1,G_2...G_n \}$的逻辑结果为公式$H$

永真公式也叫重言式，上述定理中，不管$G_1,G_2...G_n$和$H$如何取值，$(G_1 \wedge G_2 \wedge ... \wedge G_n) \to H$结果始终为1时，被称为永真公式。

• 范例：判断推理$P \to Q,P \Rightarrow Q$是否有效 $\quad$ 答案：题目中$P \to Q$和$P$是前提，Q是结论 ，询问$P \to Q,P \Rightarrow Q$是否有效是否有效，其实就是在询问，$P、Q$取任意值时，$((P \to Q) \wedge P \to Q)$的结果是否始终为真。有三种方法来验证：

1. 画真值表

$P$	$Q$	$P \to Q$	$(P \to Q )\wedge P$	$((P \to Q )\wedge P) \to Q$
0	0	1	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	1	1	1
我们可以看到$((P \to Q )\wedge P) \to Q$的值始终为1，所以$P \to Q,P \Rightarrow Q$有效。

2. 公式转换 $((P \to Q) \wedge P \to Q)$ $=\neg((\neg P \vee Q) \wedge P) \vee Q$ $=(\neg(\neg P \vee Q) \vee \neg P) \vee Q$ $=\neg(\neg P \vee Q) \vee \neg P \vee Q$ $=\neg(\neg P \vee Q) \vee (\neg P \vee Q)$ $=1$ 因为公式可以转换为1，所以不管$P,Q$取何值，公式始终为永真公式，也因此$P \to Q,P \Rightarrow Q$有效。
3. 主析取范式 $((P \to Q) \wedge P \to Q)$ $=\neg((\neg P \vee Q) \wedge P) \vee Q$ $=\neg(\neg P \vee Q) \vee \neg P \vee Q$ $=(P \vee \neg Q)\vee \neg P \vee Q$ $=(P \vee \neg Q)\vee (\neg P) \vee (Q)$ $=(P \vee \neg Q) \vee (\neg P \wedge (\neg Q \vee Q)) \vee ((\neg P \vee P) \wedge Q)$ $=(\neg P \wedge \neg Q) \vee (\neg P \wedge Q)\vee (P \wedge \neg Q)\vee (P \wedge Q)$ 此公式包含了所有的析取项，所以此公式为永真公式，因此$P \to Q,P \Rightarrow Q$有效。

$(\neg P \wedge \neg Q) \vee (\neg P \wedge Q)\vee (P \wedge \neg Q)\vee (P \wedge Q)$格式为：$m_0\vee m_1\vee m_2\vee m_3$符合永真公式的条件。

基本公式

• 设$G,H,I$为任意的命题公式
• 简化规则：
  • $I_{1}:G \wedge H \Rightarrow G$

  $I_{1}$解释：比如G是我不会飞，H是羊不会飞，$G \wedge H$表示我和羊都不会飞，那么根据$G \wedge H$可以知道，羊是不会飞的，因此$G \wedge H \Rightarrow G$

  • $I_{2}:G \wedge H \Rightarrow H$
• 添加规则
  • $I_{3}:G \Rightarrow G \vee H$
  • $I_{4}:H\Rightarrow G \vee H$
• 合取引入规则
  • $I_{5}:G,H \Rightarrow G \wedge H$
• 选言三段论
  • $I_{6}:G \vee H,\neg G \Rightarrow H$

  $I_{6}$解释：比如$G$是我可以飞，$H$是鸟可以飞，$G \vee H$表示我可以飞或鸟可以飞或我和鸟都可以飞，$\neg G$表示我不可以飞，在$G \vee H,\neg G$公式中，因为必须有一个可以飞，而我不可以飞，可以得出，鸟是可以飞的，也就是$H$，因此$G \vee H,\neg G \Rightarrow H$

  • $I_{7}:G \vee H,\neg H \Rightarrow G$
• 假言推理规则
  • $I_{8}:G \to H,G \Rightarrow H$
• 否定后件式
  • $I_{9}:G \to H, \neg H \Rightarrow \neg G$
• 假言三段论
  • $I_{10}:G \to H,H \to I \Rightarrow G \to I$
• 二难推论
  • $I_{11}:G \vee H,G \to I ,H \to I \Rightarrow I$

$I_{11}$解释：$G \vee H$表示$G$或$H$有一个成立，$G \to I$表示$G$蕴含$I$，$G$成立则$I$也成立，$H \to I$表示$H$蕴含$I$，$H$成立则$I$也成立。因此，可以通过$G \vee H,G \to I ,H \to I$成立，得到$I$也成立。

蕴含关系范例

• 如果 a 是偶数，则 a 能被 2 整除；a 是偶数。所以，a 能被 2 整除。 可描述为：$P \to Q, P \Rightarrow Q$ 假言推理规则
• 如果一个人是单身汉，则他不幸福；如果一个人不幸福，则他死得早。所以，单身汉死得早。 可描述为：$P \to Q, Q \to R \Rightarrow P \to R$假言三段论
• 若你发电子邮件告诉我密码，则我将完成程序的编写；我没有完成程序的编写。所以，你没 有发电子邮件告诉我密码。 可描述为：$P \to Q, \neg Q \Rightarrow \neg P$ 否定后件式
• 这个案件的凶手肯定是王某或陈某；经过调查，王某不是凶手。所以，陈某是凶手。 可描述为：$P \vee Q,\neg P \Rightarrow Q$ 选言三段论

自然演绎法推理

• 推理规则：
  • 规则P：称为前提引用规则，在推导过程中，可随时引入前提集合中的任意一个前提
  • 规则T：称为逻辑结果引用规则，在推导的过程中，可以随时引入公式 S，该公式 S 是由其前的一个或多个公式推导出来的逻辑结果
  • 规则CP：(称为附加前提规则)：如果能从给定的前提集合$\Gamma$与公式P推导出S，则能从此前提集合$\Gamma$推导出P$\to$S
• 演绎：从前提集合$\Gamma$推出结论$H$的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列： $H_1,H_2,H_3...H_{n-1},H_n$ 在序列中，总共分为三部分
  • 第一部分是题目中给出的公式，我们叫做前提，他们在题目中通常以$\Gamma=\{P \vee Q , \neg S,P \to S\}$等形式给出，这里面总共由三个前提，可以用$H_1 = P \vee Q,H_2 = \neg S,H_3 = P \to S$表示。
  • 第二部分是有效结论，由题目中前提和上文中提到的一些列基本公式$(I_1,I_2...I_{11})$推到出来的公式，比如我们可以通过$H_2$和$H_3$推导出$H_4 = \neg P$
  • 第三部分是结论，通常$H_n$就是我们要推导出的结论，也写作$H$，
• 演绎-直接证明法范例：
  • 例题一：设前提集合$\Gamma = {P \vee Q, Q \to R, P \to S, \neg S}$，结论 $H = R \wedge (P \vee Q)$。证明：$\Gamma \Rightarrow H$
    • 答案： $\begin{aligned} &(1)P \to S & P \\ &(2)\neg S& P \\ &(3)\neg P & T,(1),(2) \\ &(4)P \vee Q & T,(1),(2) \\ &(5)Q & T,(3),(4),I \\ &(6)Q \to R & P \\ &(7) R & T,(5),(6),I \\ &(8)R \wedge (P \vee Q) & T,(4),(7),I \\ \end{aligned}$

• 公式右边标记符号解释：
  • $P$指推理规则$P$，标记上$P$的公式，表示该公式都是题目中给定的前提；
  • $T$指推理规则$T$，标记上$T,(1),(2)$的公式，表示左边的公式是根据第1和第2条公式推出的有效结论，$T,(1),(2)$有时也写作$T_{1,2}$；
  • $I$指基本公式，标记上$I$的公式，表示左边的公式是根据上文提到的$(I_1,I_2...I_{11})$中的一条或多条公式推出的有效结论。
• 每一个公式前面依次有一个序号，最后的序号表示这个证明的推演长度。

• 例题二：设前提集合$\Gamma = {P \to( Q \to S), \neg R \vee P,Q}$，结论 $H = R \to S$。证明：$\Gamma \Rightarrow H$
  • 答案：

$\begin{aligned} &(1) R & P(附加前提) \\ &(2) \neg R \vee P & P \\ &(3) P & T,(1),(2), I \\ &(4) P \to (Q \to S) & P \\ &(5) Q \to S & T,(3),(4), I \\ &(6) Q & P \\ &(7) S & T,(5),(6), I \\ &(8) R \to S & CP,(1),(7) \\ \end{aligned}$

第一个公式后面标记为“$P$(附加前提)”，是因为我们想要证明$\Gamma \Rightarrow H$，虽然$R$不在$\Gamma$中，但当结论$H = R \to S$成立时，$R$必须也要成立，所以假设$R$是前提，这就叫做附加前提。使用附加前提的公式，要标记上$CP$和引用的公式序号。

命题演绎举例

• 符号化下面的语句，并使用演绎法证明
• 例题一：若数 a 是实数，则它不是有理数就是无理数。若 a 不能表示成分数，则它不是有理数。a 是实数且它不能表示成分数。所以，a 是无理数。
  • 答案：
    • 设命题 $P : a$ 是实数； $Q : a$ 是有理数； $R : a$ 是无理数； $S : a$ 能表示成分数。
    • 推理符号化成： $P \to (Q \vee R), \neg S \to \neg Q, P \wedge \neg S \Rightarrow R$
    • 推理过程： $\begin{aligned} &(1) R & P(附加前提) \\ &(2) \neg R \vee P & P \\ &(3) P & T,(1),(2), I \\ &(4) P \to (Q \to S) & P \\ &(5) Q \to S & T,(3),(4), I \\ &(6) Q & P \\ &(7) S & T,(5),(6), I \\ &(8) R \to S & CP,(1),(7) \\ \end{aligned}$
• 例题二：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。所以羊不吃草。

这段语句的前提和结论与我们日常生活中的认识有所不同，但不影响我们进行推理。

• 答案：
  • 设命题 $P :$ 马会飞； $Q :$ 羊吃草； $R :$ 母鸡是飞鸟； $S :$ 烤熟的鸭子会跑。
  • 推理符号化成：

$(P \vee Q) \to R, R \to S, \neg S \Rightarrow \neg Q$ - 推理过程： $\begin{aligned} &(1) \neg S & P \\ &(2)R \to S & P \\ &(3)\neg R &T,(1),(2), I \\ &(4) (P \vee Q) \to R & P \\ &(5)\neg (P \vee Q) & T,(3),(4), I \\ &(6) \neg P \wedge \neg Q & T,(5), E \\ &(7) \neg Q & T,(6), I \\ \end{aligned}$

• $E$指等价公式，标记上$E$的公式，表示公式是根据等价公式转换过来的。
• 等价公式有幂等律、交换律等。