【C/C++】6061. 买钢笔和铅笔的方案数一起养成写作习惯！这是我参与「掘金日新计划 · 4 月更文挑战」的第17天

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题目链接：6061. 买钢笔和铅笔的方案数

题目描述

给你一个整数 total ，表示你拥有的总钱数。同时给你两个整数 cost1 和 cost2 ，分别表示一支钢笔和一支铅笔的价格。你可以花费你部分或者全部的钱，去买任意数目的两种笔。

请你返回购买钢笔和铅笔的 不同方案数目 。

提示：

$1 \leqslant total, cost1, cost2 \leqslant 10^6$

示例 1：

输入：total = 20, cost1 = 10, cost2 = 5
输出：9
解释：一支钢笔的价格为 10 ，一支铅笔的价格为 5 。
- 如果你买 0 支钢笔，那么你可以买 0 ，1 ，2 ，3 或者 4 支铅笔。
- 如果你买 1 支钢笔，那么你可以买 0 ，1 或者 2 支铅笔。
- 如果你买 2 支钢笔，那么你没法买任何铅笔。
所以买钢笔和铅笔的总方案数为 5 + 3 + 1 = 9 种。

示例 2：

输入：total = 5, cost1 = 10, cost2 = 10
输出：1
解释：钢笔和铅笔的价格都为 10 ，都比拥有的钱数多，所以你没法购买任何文具。
所以只有 1 种方案：买 0 支钢笔和 0 支铅笔。

题意整理

我们总共有 total 元钱，两个不同的商品价格分别为 cost1 和 cost2 ，在不超过 total 元钱的情况下我们有多少种购买方案数。

解题思路分析

看到题目求的是方案数，首先想到可能会涉及到数学中的排列组合、数学乘法等这些求方案数目的常规手法。但是该题涉及的条件约束较少，我们只需要简单考虑两件商品分别可以取多少个即可。

核心思想：假设当我们购买数量为 num1 个价格为 cost1 的商品时，剩余的钱可以购买多少个价格为 cost2 的商品 。

这样一来题目就变得很简单了，我们只需要枚举 num1 即可求出每种情况下对应的价格为 cost2 的商品可以购买的数量 num2 ，那么对应的当前情况的方案数为 num2 + 1 种（+1 是因为我们还可以不买价格为 cost2 的商品，也就是 num2 = 0 也是一种方案）。

这里我们还要考虑枚举 num1 是否会超时，因为题目数据都在 $10^6$ 以内，极端情况我们是需要枚举 $10^6$ 种（当 $total = 10^6$ ，cost1 = 1 时， $\left \lfloor \frac{total}{cost1} \right \rfloor = 10^6$ ），可以确保极端情况不会超时（超时情况在 $10^8$ 左右）。

具体实现

设总钱数为 total ，第一个商品的价格为 cost1 ，那么我们可以求出购买第一个商品最多 num1 件。
从 0 到 num1 （包括 0 和 num1）枚举购买第一件商品的数量，用总钱数 total 减去买第一件商品的花费 total - i * cost1 （ i 为枚举购买第一件商品的数量）。
用剩余的钱除以第二件商品的价格 cost2 得到剩余的钱可以购买多少件商品二： num2 = (total - i * cost1) / cost2 。
那么当我们购买 i 件商品一时，可以选择购买 $[0, num2]$ 件商品二，此时的方案数就是 num2 + 1 种，+1 是因为第二件商品也可以选择购买 0 件。
那么最后的答案就是 $\sum_{i = 0}^{num1}(num2 + 1)$

复杂度分析

时间复杂度： $O(\left \lfloor \frac{total}{cost1} \right \rfloor)$ ，其中 total 是总钱数， cost1 是第一件商品的价格。我们需要枚举 num1。
空间复杂度： $O(1)$ ，只需要常数空间存储。

代码实现

class Solution {
public:
    long long waysToBuyPensPencils(int total, int cost1, int cost2) {
        //答案总的方案数
        long long ans = 0;
        //num1为第一件商品最大购买数量
        int num1 = total / cost1;
        //枚举第一件商品的购买数量
        for(int i = 0; i <= num1; i++){
            //剩余的钱可以购买第二件商品的数量 + 1 为当前方案数
            ans += (total - i * cost1) / cost2 + 1;
        }
        return ans;
    }
};

总结

该题的 核心思想为：假设当我们购买数量为 num1 个价格为 cost1 的商品时，剩余的钱可以购买多少个价格为 cost2 的商品 ，因为数据范围限制较小，可以使用枚举的办法解决，时间复杂度为 $O(\left \lfloor \frac{total}{cost1} \right \rfloor)$ ，但是如果当数据范围达到 $10^9$ 时，枚举的方法就不可行了，此时需要套用类欧几里德算法解决，类欧几里德算法时间复杂度为 $O(\log\Big\lfloor\dfrac{\textit{total}}{\textit{cost}_1}\Big\rfloor)$ 。

结束语

不愿迈出前行的脚步，就无法到达最美的远方；不肯跳出眼前的安逸，就无法感受生活的多彩。一旦自己给自己设限，我们的人生可能就会黯然失色。走出自我的小天地，去开拓人生的大舞台，我们才能活得愈加出彩。