前端算法第一六零弹-不同路径 II

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

动态规划

我们用 $f(i,j)$ 来表示从坐标 $(0,0)$ 到坐标 $(i,j)$ 的路径总数，$u(i,j)$表示坐标 $(i,j)$ 是否可行，如果坐标 $(i,j)$ 有障碍物，$u(i, j) = 0$，否则 $u(i, j) = 1$。

因为「机器人每次只能向下或者向右移动一步」，所以从坐标 $(0,0)$ 到坐标 $(i,j)$ 的路径总数的值只取决于从坐标 $(0,0)$ 到坐标 $(i−1,j)$ 的路径总数和从坐标 $(0,0)$ 到坐标 $(i,j−1)$ 的路径总数，即 $f(i,j)$ 只能通过 $f(i−1,j)$ 和 $f(i,j−1)$ 转移得到。当坐标 $(i,j)$ 本身有障碍的时候，任何路径都到到不了 $f(i,j)$，此时 $f(i,j)=0$；下面我们来讨论坐标 $(i,j)$没有障碍的情况：如果坐标 $(i−1,j)$ 没有障碍，那么就意味着从坐标 $(i−1,j)$ 可以走到 $(i,j)$，即 $(i−1,j)$ 位置对 $f(i,j)$ 的贡献为 $f(i−1,j)$，同理，当坐标 $(i,j−1)$没有障碍的时候，$(i,j−1)$ 位置对 $f(i,j)$ 的贡献为 $f(i,j−1)$。综上所述，我们可以得到这样的动态规划转移方程：

/**
 * @param {number[][]} obstacleGrid
 * @return {number}
 */
var uniquePathsWithObstacles = function(obstacleGrid) {
    const [m,n] = [obstacleGrid.length,obstacleGrid[0].length]
    let dp = []
    // 构建dp数组
    for(let i =0;i<m;i++){
        dp.push([])
        for(let j=0;j<n;j++){
            if(obstacleGrid[i][j]==1){
              dp[i][j] = 0
            } else if(i==0&&j>0){
              //第一列的解
              dp[0][j] = dp[0][j-1] 
            } else if(j==0&&i>0){
              // 第一行的解
              dp[i][0] = dp[i-1][0] 
            }  else {
              // 区分dp[i][j]=0的数据
              dp[i][j] =1
            }
        }
    }
    // dp[i][j]==0 时跳出当前循环继续执行
    for(let i =1;i<m;i++){
       for(let j =1;j<n;j++){
            if(dp[i][j]==0){
             continue;
            } else {
              dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] 
            }   
       }
    }  
    return dp[m-1][n-1]

};

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(nm)$，其中 $n$ 为网格的行数， $m$ 为网格的列数。我们只需要遍历所有网格一次即可。
• 空间复杂度： $O(m)$。利用滚动数组优化，我们可以只用 $O(m)$ 大小的空间来记录当前行的 $f$ 值