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洛谷 P3383 线性筛素数

题目描述

如题，给定一个范围 $n$ ，有 $q$ 个询问，每次输出第 $k$ 小的素数。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,q$ ，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 $q$ 行每行一个正整数 $k$ ，表示查询第 $k$ 小的素数。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个正整数表示答案。

输入输出样例

In 1：

Out 1：

数据范围

对于 $100\%$ 的数据， $n = 10^8$ ， $1 \le q \le 10^6$ ，保证查询的素数不大于 $n$ 。

保证查询的素数不大于 $n$ ，又有 $n ≤ 10^8$ ，即本题无需开 long long ，比赛时一定要注意这些细节（给自己和大家的提醒）！

题解

本题就是模板题，那么我们直接开始讲欧拉筛法。

原理很简单，我们从数字2开始记录下素数，并将每个数（不一定是质数合数）的一定范围内的所有整数倍标记为非素数。而重点就在于这个一定范围内如何处理，请大家先看代码，我们再讲解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ss[100000001], cnt;  // ss: ss[i]表示第i个素数，cnt: ss的长度，即素数的个数
bool pd[100000001];  // pd: pd[i]表示i是否是素数

inline void read(int &x){  // 快读不说了
    x = 0;
    short fs = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9'){
        if(c == '-')fs = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9'){
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    x *= fs;
}

int main() {
    memset(pd, 1, sizeof(pd));  // 默认都是素数，一个一个筛出去
    pd[0] = pd[1] = 0;  // 0和1不是素数（其实不处理也无所谓不影响本题结果）
    int n, q, k;
    read(n);
    read(q);

    // 重点筛数的过程！！！
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (pd[i]) ss[++cnt] = i;  // 如果到了这一步仍没有筛掉i，说明i是素数，把它放入素数列表ss
        for (int j = 1; j <= cnt && ss[j] * i <= n; j++) {  // ①
            pd[ss[j] * i] = 0;  // (ss[j] * i)肯定是合数，所以把它标记好
            if(i % ss[j] == 0) break;  // ②
        }
    }

    while(q--){
        // q次询问，输出第k个素数
        read(k);
        printf("%d\n", ss[k]);
    }

    return 0;
}

①：在第32-34行是真正筛数的过程，会给合数打上标记。在循环条件 j <= cnt && ss[j] * i <= n 中，前者 j <= cnt 保证了 ss[j] 不选到不存在的素数；后者则是保证我们筛到的数小于最大可能要求的素数的值就好了，再往上筛在本题的要求下毫无意义。

②：按照我们目前的思路，我们按理要筛掉所有的满足 j <= cnt && ss[j] * i <= n 条件下的 ss[j] * i ，为什么还会有34行的判断？这就是欧拉筛的绝妙之处——每个数会且只会被筛一遍，大大提高了效率。

为了保证每个数只筛一次，本算法采用的思路是保证每个数字 $z$ 都是被除了 $1$ 和 $z$ 本身之外的最大因数 $y$$\times$ 最小因数 $x$ 筛掉。而每当 i % ss[j] == 0 时，对于 $z = (i \times ss[j+1])$ ，不应被 $y=i$ ， $x=(ss[j+1])$ 筛掉，而应被 $y=\{(i / ss[j]) * ss[j+1]\}$ ， $x=ss[j]$ 筛掉才对。

证明完不重复，再来看正确性：观察程序发现，对于任意合数 $z'$ ，我们只要保证当 $i=z'$ 时 $z'$ 被标记即可。而 $z'$ 会被 $y' \times x'$ 筛出来， $y'$ 一定出现在 $z'$ 前，而 $z'$ 的最小因数 $x'$ 一定是一个质数（这个自己证吧，分类讨论奇数和偶数），且任意比 $x'$ 校的素数 $x''$ 不是 $y'$ 的因数（否则 $x'$ 的值应为 $x''$ ）。

www.luogu.com.cn/record/6852…，这是标准的欧拉筛也就是本文中给出的代码，五个点总用时3.12秒；www.luogu.com.cn/record/6852…，这是本文代码去掉第34行提交的结果，足足用了7.96秒，基本上是卡限时通过的。

参考资料：

P3383 【【模板】线性筛素数】【题解/笔记】 - Eon的小木屋 - 洛谷博客

算法刷题【洛谷P3383】线性筛素数（线性筛素数，欧拉筛法模板）