力扣每日一题0416-479. 最大回文数乘积

一起养成写作习惯！这是我参与「掘金日新计划 · 4 月更文挑战」的第15天，点击查看活动详情 。

给定一个整数 n ，返回 可表示为两个 n 位整数乘积的 最大回文整数 。因为答案可能非常大，所以返回它对 1337 取余 。

示例 1:

输入：n = 2
输出：987
解释：99 x 91 = 9009, 9009 % 1337 = 987

示例 2:

输入： n = 1
输出： 9

提示:

• 1 <= n <= 8

枚举

我们可以从大到小枚举回文数，由于确定了回文数的左半部分，其右半部分也就确定了，因此我们只需要枚举左半部分，同时由于两个 $n$ 位整数的乘积至多是个 $2n$ 位数，我们可以从 $10^n-1$ 开始枚举回文数的左半部分。

得到回文数 $p$ 后，需要判断其能否分解成两个 $n$ 位整数。我们可以从 $10^n-1$ 开始从大到小枚举 $x$，若 $x$能整除 $p$ 且 $x$ 和 $\dfrac{p}{x}$ 均为 $n$位整数，则 $p$ 就是我们要找的答案。

代码实现时，在枚举 $x$ 时枚举到 $\lceil\sqrt{p}\rceil$ 即可，因为继续枚举的话有 $x<\dfrac{p}{x}$，若 $x$ 为 $p$ 的因子则说明更大的 $\dfrac{p}{x}$ 也是 $p$ 的因子，但是前面枚举 $x$ 的过程中并没有找到 $p$ 的因子，矛盾。

实际结果表明，上述算法在 $n>1$ 时总能找到答案，而 $n=1$ 时的答案为 $9$，是个 $1$ 位数，需要特判这种情况。

var largestPalindrome = function(n) {
    if (n === 1) {
        return 9;
    }
    const upper = 10 ** n - 1;
    for (let left = upper; left > upper / 10; left--) {
        let right = String(left).split('').reverse().join('');
        let p = BigInt(String(left) + right)    //得到回文数
        let x = BigInt(upper);
        while (x * x >= p) {
            if (p % x === BigInt(0)) { // x 是 p 的因子
                return p % BigInt(1337);
            }
            x--;
        }
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：
• $O(10^{2n})$。枚举 $\textit{left}$ 和 $x$ 的时间复杂度均为 $O(10^n)$。实际上我们只需要枚举远小于 $10^n$ 个的 $\textit{left}$ 就能找到答案，实际的时间复杂度远低于 $O(10^{2n})$。
• 空间复杂度：$O(1)$，我们只需要常数的空间保存若干变量。