前端算法第一五九弹-不同路径

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一个机器人位于一个 m x n **网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

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动态规划

我们用 $f(i, j)$ 表示从左上角走到 $(i, j)$ 的路径数量，其中 $i$ 和 $j$ 的范围分别是 $[0,m)$ 和 $[0,n)$。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 $(i,j)$，如果向下走一步，那么会从 $(i-1, j)$ 走过来；如果向右走一步，那么会从 $(i, j-1)$ 走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

$f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−1)$

需要注意的是，如果 $i=0$，那么 $f(i−1,j)$ 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 $j=0$，那么 $f(i,j−1)$ 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。

初始条件为 $f(0,0)=1$，即从左上角走到左上角有一种方法。

最终的答案即为 $f(m−1,n−1)$。

为了方便代码编写，我们可以将所有的 $f(0,j)$ 以及 $f(i,0)$ 都设置为边界条件，它们的值均为 1。

var uniquePaths = function(m, n) {
    const f = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        f[i][0] = 1;
    }
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        f[0][j] = 1;
    }
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
        }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
};

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(mn)$。
• 空间复杂度：$O(mn)$，即为存储所有状态需要的空间。注意到 $f(i,j)$ 仅与第 $i$ 行和第 $i−1$ 行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为 $O(n)$。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 $m$和 $n$使得 $m \leq n$，这样空间复杂度降低至$O(\min(m, n))$。