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寻找两个正序数组的中位数

解法

直接排序法

对于这道题，最直接粗暴的办法是把两个数组合并起来排序，然后直接肝出新数组的中位数即答案。但是时间复杂度无法达标，为$O((n+m)log(n+m))$.

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int> &nums1, vector<int> &nums2) {
        vector<int> ans;
        ans.resize(nums1.size() + nums2.size());
        merge(nums1.begin(), nums1.end(), nums2.begin(), nums2.end(), ans.begin());
        sort(ans.begin(), ans.end());
        int len = ans.size();
        if (len % 2 == 1)
            return ans[len / 2];
        else
            return (double) (ans[len / 2] + ans[len / 2 - 1]) / 2;
    }
};

递归法（$O(log(m+n))$）

原问题有点难以递归，我们不妨考虑一个比较简单的问题：

在两个大小分别为n和m的有序数组中，找出总排名第k小的数.

如果这个问题可以解决，那么只要找到第 $(n+m)/2$ 大的数字即是我们所求的中位数（元素总数是奇数没问题，是偶数的话需要找到第 $(n+m)/2$ 大与第 $(n+m)/2+1$ 大的数字取平均，但我们现在先不用考虑这么多）。

先考虑最简单的情况，两个数组的元素数量均充足，即$n,m\geq k/2$，我们就可以先在每个数组里各取$k/2$个元素：

• 如果 $nums1[k/2 - 1] > nums2[k/2-1]$ ，则说明在 $nums2$ 数组中，前 $k/2$ 个元素都小于第$k$小的数字，可能还有“漏网之鱼”；而在$nums1$数组的前 $k/2$ 个元素中，可能有比第 $k$ 小的数字大的数字被我们误取。所以我们的办法是，将$nums2$的前$k/2$个元素全部拿走（因为已知它们都小于第 $k$ 小个数字，不是我们要找的），将问题递归成在剩下的数字中寻找第 $k-[k/2]$ ​小数。
• 如果$nums1[k/2−1]≤nums2[k/2−1]$ ，同理可说明 $nums1$ 中的前 $k/2$ 个元素一定都小于等于第 $k$ 小数，类似可将问题的规模减少一半.

现在，我们考虑边界情况。如果 $m<k/2$ ,则我们从 $nums1$ 取 $m$ 个元素，从 $nums2$ 中取 $k/2$ 个元素（由于 $k=(m+n)/2$ ，因此 $m$ 和 $n$ 不可能同时小于 $k/2$。

• 如果 $nums1[m−1]>nums2[k/2−1]$ ，则 $nums2$ 中的前 $k/2$ 个元素一定都小于等于第 $k$ 小数，我们可以将问题归约成在剩下的数中找第 $k−⌊k/2⌋$ 小数.
• 如果 $nums1[m−1]≤nums2[k/2−1]$ ，则 $nums1$ 中的所有元素一定都小于等于第 $k$ 小数，因此第$k$小数是 $nums2[k−m−1]$.

话不多说，上代码。代码里细节点很多，建议自己看懂后复写一遍。

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int> &nums1, vector<int> &nums2) {
        int total = nums1.size() + nums2.size();
        if (total % 2 == 0) {
            int left = findKthNumber(nums1, 0, nums2, 0, total / 2);
            int right = findKthNumber(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1);
            return (left + right) / 2.0;
        } else
            return findKthNumber(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1);
    }

    int findKthNumber(vector<int> &nums1, int i, vector<int> &nums2, int j, int k) {
        if (nums1.size() - i > nums2.size() - j) return findKthNumber(nums2, j, nums1, i, k);
        if (nums1.size() == i) return nums2[j + k - 1];
        if (k == 1) return min(nums1[i], nums2[j]);
        int si = min(int(nums1.size()), i + k / 2), sj = j + k / 2;
        if (nums1[si - 1] > nums2[sj - 1])
            return findKthNumber(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
        else
            return findKthNumber(nums1, si, nums2, j, k - (si - i));
    }
};