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DP 概念

这是一种用来解决复杂算法问题的常用办法，其实是一种思想：

如果这个问题很复杂，那么肯定是问题本身涉及的数值太大，所以比较复杂。
既然涉及到的数值太大，我们就将数值缩小
然后找到缩小的数值和原数值之间的关系
进而得到最终的答案

问题之剪带子

这是一个OJ网站上的题目，大意如下：

小明有一根带子，长度是N，他想剪掉这根带子，但是小明规定剪完之后的长度只能是a, b, c这三种(a,b,c可能相等)。
小明可以随便怎么剪都行，只要满足上述的限制。
小明想问：该如何剪，才能让最终的带子的数量是最大的？

一个具体例子

比如说，这个带子的原本长度是7，小明规定只能剪成 5, 5, 2 这几种长度。

通过人脑都能得知，只有一种剪法：5, 2，最终的数量是2 根。

数值增加影响复杂度

上面的例子很简单，那是因为长度为7，人脑计算很快。

那么试试长度为700？

复杂度上升了不少，接下来是重点，DP的思路：

长度7既然算出来了，那么在这个基础上，往上加长度
比如说长度8, 长度8第一剪子，能有两种剪法：5 或者 2
也就分成两个方向，
- 剪5 变成 长度3 + 长度5 : 问题成为计算长度3 然后加 1
- 剪2 变成 长度6 + 长度2 : 问题成为计算长度6 然后加 1
此时，如果我们已经知道 长度3或者长度6的答案，那么长度8的答案也就出来了。
就是将上面两种剪法的答案比较一下，取大的就行。
重点来了，计算长度8这个复杂的问题转变成了复杂度较小的长度3和长度6的问题。
那么长度3可以继续转化成更小的
长度6也是如此

这个例子的具体计算步骤

首先声明一个结果数组，用来存储，各个长度的结果：

var res []int = make([]int, N+1)

计算长度1：不合法，丢弃 :res[1] = -1, 这里存储-1是为了讲述方便，就说明这个长度没法剪。
计算长度2: 结果是1，存储: res[2] = 1
计算长度3: 根据小明的规定：
- 第一刀剪5：不合法
- 第一道剪2：变成 长度1 + 1，而长度1上面已经计算过不合法了，所以也丢弃这种，这就是为什么要存储不合法的长度1
- 基于上面两种剪法，长度3不合法，丢弃：res[2] = -1
一直这样算下去，一直算到 长度700
根据算法中复杂度的定义，这个算法的时间复杂度应该是 $O(N)$ , 还是比较好的。
计算过程中，我们用到一个数字来存储各个长度的答案，所以空间复杂度也是 $O(N)$

示例代码(Golang)

func cutRibbon(N, a, b, c int) int {
	res := make([]int, N+1)
	cons := []int{a, b, c}
	//
	three := []int{0, 0, 0}
	for idx := 1; idx <= N; idx++ {
		three[0], three[1], three[2] = 0, 0, 0 // 清空
		for jdx, onecon := range cons {        // 遍历第一剪的三种情况
			if idx < onecon { // 剪不了
				continue
			}
			if idx == onecon { // 刚好相等
				three[jdx] = 1
				continue
			}
			if res[idx-onecon] == 0 { // 不合法的剪法
				continue
			}
			three[jdx] = res[idx-onecon] + 1
		}
		// 三种剪法最终比较一下，取大的
		sort.Ints(three)
		res[idx] = three[2]
	}
	return res[N]
}

注意，某一个长度，如果完全不能减的话，我没有置成-1，直接用默认值0即可。

DP解题之剪带子