Bezier曲线的生成算法&&Bezier曲线的拼接

2022-04-13 928 阅读2分钟

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Bezier曲线的生成方法

生成一条Bezier曲线实际上就是要求出曲线上的点。

1.根据定义直接生成Bezier曲线

定义：

其中

那么生成步骤为：

①首先给出 $C_{n}^{i}$ 的递归计算式：

②：将 p(t) 表示成分量形式

由于 $C_{n}^{i}$ 的计算量大，算法效率不高。

2.Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法

Bezier曲线上的任一个点p(t)，都是其它相邻线段的同等比例(t)点处的连线，再取同等比例(t)的点再连线，一直
取到最后那条线段的同等比例(t)处，该点就是Beizer曲线上的点(t)。

以二次Bezier曲线为例,其中 $P_{n}^{i}$ 的n表示从哪个点作为起点，i表示i次，两个直线相连次数加1：

带入后得到：

下面开始递推：

二次Bezier曲线 $P_{0}^{2}$ （三个点）可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线 $P_{0}^{n}$ 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：

即：这个大家可以在纸上画画三次，四次，会对这个递推式印象更深

由此得到de Casteljau算法：

优点：稳定可靠，直观简便。

3.Bezier曲线计算举例

Bezier曲线的拼接

根据前面对Bezier曲线生成算法的介绍，显然随着点的增加，接着会引起的次数提高，而而高次多项式又会带来计算上的困难。

对于上式子，也就是随着n的增加，t的次数也会随着增加。

故实际应用中的Bezier曲线都是三次或者四次的曲线一段一段的拼接而形成的。所以要在接合处保持一定的连续条件。

那么连续条件是：

给定两条Bezier曲线 P(t)和 Q(t)，相应控制点为 $P_{i}$ (i =0,1,...,n)和 $Q_{i}$ (i=0,1,...,m),假设n = 3，m = 0。即

条件一：Pn= Q0，即第一条曲线的最后一个点和第二条曲线的第一个点重合。

条件二：保证Pn-1，Pn=Q，Q1三点共线

Bezier曲线的升阶与降阶

一、 Bezier曲线升阶

讨论如何从 $B_{i,2}$ 转化成 $B_{i,3}$ 的形式,2,3表示点的个数。

原则：保证曲线的形状和定向保持不变，但是要增加顶点个数。

设给定原始控制顶点 $P_{0},P_{1}$ ,.. $P_{n}$ ，定义一条n次Bezier曲线,

增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点后设为 $P_{0}^{},P_{1}^{}$ ....... $P_{n+1}^{*}$ ，则有：

由于曲线还是那个曲线，故令二者相等：

以三次为例：

能够看出，随着点数的增加，也就是阶数的增加，控制多边形越来越收敛于这条曲线。

二、 Bezier曲线的降阶

降阶是升阶的逆过程，降阶可以表示为：

若二者成立，只有 $a_{3}$ 等于0时等号成立，若不等于0，那只能逼近，找打一个二次曲线尽可能逼近三次曲线。

Bezier曲线曲面升降阶的重要性：

****第一它是CAD系统之间数据传递与交换的需要

第二它是系统中分段(片)线性逼近的需要．通过逐次降阶，把曲面化为直线平面，便于求交和曲面绘制

第三它是外形信息压缩的需要。降阶处理以后可以减少存储的信息量