直线画线算法描述本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。一、直线段的扫描转换算法 1.描述数学上

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

一、直线段的扫描转换算法

1.描述

数学上画一条直线需要无穷多的点，但计算机光栅显示器由像素点构成，故用屏幕上的点进行逼近。

为了在显示器上用离散的像素点逼近这条直线，首先需要知道这些像素点的（x,y）坐标

用的是斜截式方程： y = kx+b 其中 $k = \frac{y1 - y0}{x1 - x0} (x1 \neq x0)$

画直线的过程：已知起点P0(x0,y0)与k和b，然后让x1 = x0 +1，进而求y1，然后用同样的方法求y2,y3......

[注]：像素只能是整数，故为了减少误差，求出的y值采取四舍五入，如假设求出P1(1.8,0.8)则转化成(2,1)。

2.算法效率的提高

由于求y只是一个乘法和加法，且计算机做加法快，如果能够将乘法用一定的方法转换成加法，则可以提升算法的效率。下面是三个基于乘法换成加法这一思想的常用改进方法。

2.1数值微分法（DDA）

a.算法的基本思想

由于x每一次最小的变化是以一个像素点为单位，故我们可以得到在这条直线上的相邻两个坐标的递推式： $y_{k+1} = y_{k} + k$

【注】：当|k| < 1时，点取得较密集，但是，当|k| >>1 时，这个直线上的点就很稀疏了。

b.算法的改进

一般情况下k与y都是小数，而且每一步运算都要对y进行四舍五入取整，唯一改进途径是把浮点运算变成整数加法。

2.2 中点画线法

a基本思想

采用直线的一般是f(x,y) = ax + by +c = 0；根据点与直线的关系：

f(x0,y0) > 0 则(x0,y0)在直线上方

f(x0,y0) < 0 则(x0,y0)在直线下方

f(x0,y0) = 0 则(x0,y0)在直线上

我们记 f(x0+1,y0+0.5) = d,根据: 若 d<0，点在直线下方，则下一个点取(x0+1,y0+1);否则，取(x0+1,y0);

用式子来描述就是

b中点画线算法的改进

根据上面的式子看出，中点画线法计算量明显比DDA多，那么如何改进？能不能也采用增量的方式弄出个 $d_{i+1} = d_{i} + x$ ?

我们只是想知道下一个点是 $(x_{i+1},y_{i+1})$ 还是 $(x_{i+1},y_{i})$

下面贴出推导：

$d_{i} = f(x_{i+1},y_{i+0.5}) = A(x_{i} + 1) + B(y_{i} + 0.5) +c$

当 $d_{i}$ <0时

$d_{i+1} = f(x_{i+2},y_{i+1.5}) = A(x_{i} + 2) + B(y_{i} + 1.5) +c$ = $d_{i}$ + A + B

当 $d_{i}$ >0时

$d_{i+1} = f(x_{i+2},y_{i+0.5}) = d_{i} +A$

也就是说，根据 $d_{i}$ 的正负可以判断选择哪个点，根据这个递推关系 $d_{i+1}=f(d_{i})$ 可以判断下一个点选啥。

那么初始值 $d_{0}$ ： $d_{0} = f(x_{0}+1,y_{0}+0.5) = Ax_{0} + By_{0} + C +A + 0.5B = A + 0.5B$

综上：

c.总结：

采用直线一般式

只通过判断中点的符号，最终可以只进行整数加法

2.3 Bresenham算法

a.算法基本思想

由于上述算法都限定在了直线的范围，BBresenham算法相当于中点画线算法的扩展。

该算法思想是通过各行各列像素中心构造一组虚拟网络网格线，按照直线起点到终点的顺序，计算直线与个垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号判断该列像素中与此交点最近像素。

用图表示就是这样：

每次x+1，y要吗加1要么加0，取决于实际直线与最近光栅网格点的距离，这个距离的最大误差为0.5（当实际直线正好在

$y_{i}$ 与 $y_{i+1}$ 的中点时）。

误差项 $d_{i+1}$ = $d_{i}$ +k,其中由图可以看出 $d_{0}$ 为0。

当d>1时，为保证d的相对性,且在0、1之间，令d = d - 1。

将此算法进行改进到整数加法：

可以理解为：e>0,y方向递增1；e<0，y方向不递增

e = 0 时，可任取上、下光栅点显示

e初 = -0.5,每走一步有e = e+k,if (e>0) then e=e-1

改进2：由于算法中只用到误差项的符号，于是可以用e2△x来替换e。

e初 = -△x，
每走一步有：e = e+2△y。(k = 2△xk = 2△y)
if (e>0) then e = e-2△x 此时取（x+1,y+1），否则取（x+1,y）

另一种思想：

举个例子：

Bresenham算法和DDA算法很像，都是加斜率，但Bresenham只是判断符号决定上下两个点，无需求出新y后取整，故应用范围广泛。

任意斜率中点画线算法matlab实现

首先推导各个斜率下 $d_{i}$ 与 $d_{i+1}$ 以及 $d_{0}$ 的关系

当 0<k<1时

$d_{i} = f(x_{i}+1,y_{i}+0.5) = A(x_{i} + 1) + B(y_{i} + 0.5) +c$

if $d_{i}<0$

$d_{i+1} = f(x_{i}+2,y_{i}+1.5) = A(x_{i} + 2) + B(y_{i} + 1.5) +c\Rightarrow {i+1} = d{i} + A +B$

else

$d_{i+1} = f(x_{i}+2,y_{i}+0.5) = A(x_{i} + 2) + B(y_{i} + 0.5) +c\Rightarrow {i+1} = d{i} + A$

其中 d0 = A +0.5B

当 k>1 时(y轴加一，看x轴的正负)画图一目了然

$d_{i} = f(x_{i}+0.5,y_{i}+1) = A(x_{i} + 0.5) + B(y_{i} + 1) +c$

if $d_{i}<0$

$d_{i+1} = f(x_{i}+0.5,y_{i}+2) = A(x_{i} + 0.5) + B(y_{i} + 2) +c\Rightarrow {i+1} = d{i} +B$

else

$d_{i+1} = f(x_{i}+1.5,y_{i}+2) = A(x_{i} + 1.5) + B(y_{i} + 2) +c\Rightarrow {i+1} = d{i} + A +B$

其中 d0 = 0.5A +B

当 k>-1 且k<0 时

$d_{i} = f(x_{i}+1,y_{i}-0.5) = A(x_{i} + 1) + B(y_{i} - 0.5) +c$

if $d_{i}<0$

$d_{i+1} = f(x_{i}+2,y_{i}-0.5) = A(x_{i} + 2) + B(y_{i} -0.5) +c\Rightarrow {i+1} = d{i} +A$

else

$d_{i+1} = f(x_{i}+2,y_{i}-1.5) = A(x_{i} + 2) + B(y_{i} -1.5) +c\Rightarrow {i+1} = d{i} + A -B$

其中 d0 = A - 0.5B

当k<-1时这里就不再推了，大家可以自己去尝试，

function midpointline(x0,y0,x1,y1)
     k = (y1-y0)/(x1-x0);
     x=x0;y=y0;
     b=x1-x0;a=y0 - y1; %这个式子是用已知直线两个点，求一般式画出来的
    if(k<1 && k>0)
        grid on;hold on;
        plot(x,y,'o');
        d0=2*a+b;
        d1=2*a;
        d2=2*(a+b);
        while (x<x1)
            if(d0 >=0) 
                x=x+1;
                d0 =d0+d1;
             elseif(d0 < 0)
                 x=x+1;y=y+1;d0=d0+d2;
             end
             hold on;
             plot(x,y,'o');
        end
    elseif(k>1)
        grid on;hold on;
        plot(x,y,'o');
        d0=a+2*b;
        d1=2*(a+b);
        d2=2*b;
        while (y<y1)
            if(d0 >=0)
                x = x + 1;
                y = y + 1;
                d0 =d0 + d1;
             elseif(d0 < 0)
                 y=y+1;d0=d0+d2;
             end
             hold on;
             plot(x,y,'o');
        end
    elseif(k>-1 && k<0)
        grid on;hold on;
        plot(x,y,'o');
        d0=2*a-b;
        d1=2*(a-b);
        d2=2*a;
        while (x<x1)
            if(d0 >=0)
                x = x + 1;
                y = y - 1;
                d0 =d0 + d1;
             elseif(d0 < 0)
                 x=x+1;d0=d0+d2;
             end
             hold on;
             plot(x,y,'o');
        end
    elseif(k<-1)
        grid on;hold on;
        plot(x,y,'o');
        d0=a-2*b;
        d1=-2*b;
        d2=2*(a-b);
        while (x<x1)
            if(d0 >=0)
                y = y - 1;
                d0 =d0 + d1;
             elseif(d0 < 0)
                 x=x+1;y=y-1;d0=d0+d2;
             end
             hold on;
             plot(x,y,'o');
        end
    end
    end