14--二叉树的应用之二叉搜索树

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关于树和二叉树的相关知识，以及数据结构与算法的相关知识，请查看文章《数据结构与算法基础知识文章汇总》。

一、相关概念介绍

二叉搜索树又称二叉排序树或二叉查找树，它一棵空树或一棵具有如下特征的二叉树：

  • 1.若它的左子树不为空，则左子树上的所有结点的值都小于根结点的值；
  • 2.若它的右子树不为空，则右子树上的所有结点的值都大于根结点的值；
  • 3.它的左右子树也都是二叉搜索树。

如下图所示即为二叉搜索树：

image.png

利用二叉搜索树的以上特征，我们可以实现查找算法中的动态查找，如果能查找到关键字对应的数据，则可以执行删除操作；如果查找不到关键字对应的数据，则可以执行插入操作。

二、实现二叉树搜索树的查、增、删除操作

设计一个算法，在二叉排序树中找到关键字key = 93的结点。

image.png

  • 1.第一次比较，62<93,所以搜索右子树；
  • 2.第二次比较，88<93,所以搜索右子树；
  • 3.第三次比较，99>93,所以搜索左子树；
  • 4.第四次比较，93=93,找到目标结点。

代码实现：

0.定义一些状态值和数据类型

#define OK 1

#define ERROR 0

#define TRUE 1

#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100

typedef int Status;

//二叉树的二叉链表结点结构定义
//结点结构
typedef struct BiTNode
{
    //结点数据
    int data;

    //左右孩子指针
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;

1.查找结点

Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f, BiTree *p){

    if(!T)    //查找不成功
    {
        *p = f;
        return FALSE;
    }
    else if(key==T->data) //查找成功
    {
        *p = T;
        return TRUE;
    }
    else if(key<T->data)
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  //在左子树中继续查找
    else
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  //在右子树中继续查找 
}
  • 1.递归查找二叉树T中，是否存在值等于key的结点；
  • 2.T为当前查找的子树，f指向T的双亲结点，p记录查找的结果;
  • 3.如果查找成功，则记录*p = T;
  • 4.如果T的值大于key，则递归在左子树中继续查找；
  • 5.如果T的值小于key，则递归在右子树中继续查找。

2.插入结点

在二叉搜索树中查找关键字key = 95的结点，如果找不到，则将95插入到二叉搜索树中。

image.png

在上面的查找算法中，如果找不到满足条件的结点，最终会返回一个叶子结点p。所以只需要判断插入的数据是插在p左孩子还是p的右孩子即可。

Status InsertBST(BiTree *T, int key) {

    BiTree p,s;

    //1.查找插入的值是否存在二叉树中;查找失败则->
    if(!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) {
        //2.初始化结点s,并将key赋值给s,将s的左右孩子结点暂时设置为NULL
        s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        s->data = key;
        s->lchild = s->rchild = NULL;

        //3.
        if(!p) {
            //如果p为空,则将s作为二叉树新的根结点;
            *T = s;
        }else if(key < p->data){
            //如果key<p->data,则将s插入为左孩子;
            p->lchild = s;
        }else
            //如果key>p->data,则将s插入为右孩子;
            p->rchild = s;

        return TRUE;
    }
    return FALSE;
}
  • 1.首先调用查找算法，如果不能找到，则创建新结点；
  • 2.当没有查找到时，p指向的是一个叶子结点，如果树为空树，则p=null，此时新结点应为根结点；
  • 3.如果树不为空树，当p的值小于key时，新结点插入p的右孩子；
  • 4.当p的值大于key时，新结点插入p的左孩子。

3.删除结点

1.情况一：待删除的是叶子结点

image.png

如果待删除的是叶子结点，则直接断开与双亲结点的连接，然后释放待删除结点即可。

2.情况二：待删除的结点只有左子树或只有右子树

image.png

如果待删除的结点只有左子树或只有右子树，则将双亲结点指向待删除的指针指向待删除结点的左孩子或右孩子即可。

3.情况三：待删除结点即有左子树，也有右子树

image.png

此时47即有左子树也有右子树，将47删除后，不能改变二叉搜索树的性质，我们该如何操作呢？

上面的二叉搜索树的中序遍历顺序如下：29->35->36->37->47->48->49->50->51->56->58->62->73->88->93->99。

所以我们可以删除37或48，即中序遍历的前后两个结点：

image.png

当删除47时，用37替换，有如下结果：

image.png

  • 1.将37的双亲结点的右孩子指向37结点的左孩子；
  • 2.将37结点释放；
  • 3.将47这个结点的值换成37。

当删除48时，用48替换，有如下结果：

image.png

  • 1.将37替换成48；
  • 2.将48结结点释放。

如果找到37和48呢？

  • 1.找到37的逻辑：获取待删除结点的左子树，获取左子树的右孩子，直到右孩子为null时结束；
  • 2.找到48的逻辑：获取待删除结点的右子树，获取右子树的左孩子，直到左孩子为null时结束。

代码实现：

1.删除结点算法实现

Status Delete(BiTree *p){
    BiTree temp,s;

    if((*p)->rchild == NULL){
        //情况1: 如果当前删除的结点,右子树为空.那么则只需要重新连接它的左子树;
        //①将结点p临时存储到temp中;
        temp = *p;

        //②将p指向到p的左子树上;
        *p = (*p)->lchild;

        //③释放需要删除的temp结点;
        free(temp);
    }else if((*p)->lchild == NULL){
        //情况2:如果当前删除的结点,左子树为空.那么则只需要重新连接它的右子树;
        //①将结点p存储到temp中;
        temp = *p;

        //②将p指向到p的右子树上;
        *p = (*p)->rchild;

        //③释放需要删除的temp结点
        free(temp);
    }else{
        //情况③:删除的当前结点的左右子树均不为空;

        //①将结点p存储到临时变量temp, 并且让结点s指向p的左子树
        temp = *p;
        s = (*p)->lchild;

        //②将s指针,向右到尽头(目的是找到待删结点的前驱)
        //-在待删除的结点的左子树中,从右边找到直接前驱
        //-使用`temp`保存好直接前驱的双亲结点
        while(s->rchild) {
            temp = s;
            s = s->rchild;
        }
        
        //③将要删除的结点p数据赋值成s->data;
        (*p)->data = s->data;

        //④重连子树
        //-如果temp 不等于p,则将S->lchild 赋值给temp->rchild
        //-如果temp 等于p,则将S->lchild 赋值给temp->lchild
        if(temp != *p)
        {   //s的双亲结点不是待删除结点
            temp->rchild = s->lchild;
        }
        else
        {   //s的双亲结点是待删除结点，即待删除结点的左子树只有一个结点
            temp->lchild = s->lchild;
        }

        //⑤删除s指向的结点; free(s)
        free(s);
    }
    return TRUE;
}

2.删除算法实现

Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{
    //不存在关键字等于key的数据元素
    if(!*T)
        return FALSE;
    else
    {
        //找到关键字等于key的数据元素
        if(key==(*T)->data)
            return Delete(T);
        else if(key<(*T)->data)
            //关键字key小于当前结点,则缩小查找范围到它的左子树;
            return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
        else
            //关键字key大于当前结点,则缩小查找范围到它的右子树;
            return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
    }
}

4.调试代码

int main(int argc, const char * argv[]) {

    // insert code here...
    printf("Hello, 二叉排序树(Binary Sort Tree)!\n");

    int i;

    int a[10]={62,88,58,47,35,73,51,99,37,93};

    BiTree T=NULL;

    for(i=0;i<10;i++)
    {
        InsertBST(&T, a[i]);
    }

    BiTree p;

    int statusValue = SearchBST(T, 99, NULL, &p);
    printf("查找%d是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",p->data,statusValue);

    statusValue = DeleteBST(&T,93);
    printf("二叉排序树删除93是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",statusValue);
    statusValue = DeleteBST(&T,47);
    printf("二叉排序树删除47是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",statusValue);
    statusValue = DeleteBST(&T,12);
    printf("二叉排序树删除12是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",statusValue);

    statusValue = SearchBST(T, 93, **NULL**, &p);
    printf("查找%d是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",93,statusValue);

    statusValue = SearchBST(T, 47, **NULL**, &p);
    printf("查找%d是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",47,statusValue);

    statusValue = SearchBST(T, 99, **NULL**, &p);
    printf("查找%d是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",99,statusValue);
    printf("\n");

    return 0;
}

5.输出结果

image.png

三、总结

  • 1.二叉搜索树的特征是左子树的所有结点的值都小于根结点，右子树的所有结点的值都大于根结点；
  • 2.利用二叉搜索树的特征可以用于设计动态查找算法，实现查、增、删除操作；
  • 3.二叉搜索树的删除算法受到了中序遍历的排序结果的启发。
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