并查集+题目

奋斗菌
129 阅读3分钟

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概念

用处(使用场景)

image.png

  1. 将两个集合合并
  2. 询问两个元素是否在一个集合中
  3. 例子：belong[x] = a
    1. 含义：x属于集合a
    2. 判断x和y是否属于一个集合if (belong[x] == belong[y]) 时间复杂度近乎O(1)

基本思想

image.png

  1. 用树(不一定是二叉树)的形式维护一个集合
  2. 每个集合的编号就是当前集合根节点的编号
  3. 集合中的每一个点都存储一下它的父节点是谁，用p[x]表示x的父节点

问题

  1. 如何判断树根？
    1. if (p[x] == x)
  2. 如何求x的集合编号：
    1. while (p[x] != x) x = p[x]; // 只要x不是树根就一直往上走，一直走到树根为止
    2. 优化：路径压缩：第一次找x的根节点的时候，将所有经过的点全部都指向根节点，加了这个优化之后，并查集的时间复杂度O(1)image.png
  3. 如何合并两个集合image.png
    1. px是结合x的编号，py是结合y的编号，只需要 p[x] = y
    2. 将x集合插到y集合里面去

题目

www.acwing.com/problem/con… image.png image.png

分析

做法：用并查集来维护信息 image.png

  1. 根节点可以看成是到自己的距离是0
  2. 距离：表示代数
    1. 比如x吃y：那么y是第0代(根节点是第0代)，x是第一代
    2. z吃x：z是第二代，x是第一代
    3. k吃z：k是第三代，z是第二代
    4. 总而言之，都是递推的关系，吃第0代的就是第一代，吃第一代的就是第二代，以此类推
  3. 用距离来模3的到的数据
    1. 余1：可以吃根节点
    2. 余2：可以被根节点吃
    3. 余0：与根节点是同类
  4. 为什么第3代跟第0代是同类的呢？
    1. 因为3个一循环
  5. 并查集维护的是结点到根节点的距离

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 50010;

int n, m;
int p[N], d[N]; // p：结点的父亲  d[x]：x到父亲结点的距离	

// 要维护一下d数组,find函数的作用，返回每个点的根节点
int find(int x)
{
    // 如果x不是树根的话
    if (p[x] != x)
    { 
        int t = find(p[x]);
        d[x] += d[p[x]];   // 更新成x到根结点的距离，即x到父节点的距离+父节点到根节点的距离
    	p[x] = t; 
    }
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    // 将每个点初始化,d因为本来默认值就是0，所以不用初始化了
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; // 自己就是一个集合	
	
    int res = 0;  //假话的个数
    while (m--)
    {
        int t, x, y; // t:种类 0：同类，1：吃的关系  	 
        scanf("%d%d%d", &t, &x, &y);
        
        if (x > n || y > n) res++; // 假话
        else 
        {
            // 先将x和y的根结点找出来
            int px = find(x), py =find(y);
            if (t == 1) // x和y同类
            {
                // 在同一个并查集上，并且模3的余数不同的话，说明不是同类,是假话
                if (px == py && (d[x] - d[y]) % 3) res++; 
                else if (px != py) // 说明x和y不在一个集合里面,那么就要把他们放到一个集合里面去
                {
                    p[px] = py;
                    d[px] = d[y] - d[x];
                }
            }
            else
            {
                if (px == py && (d[x] - d[y] - 1) % 3) res++;
                else if(px != py)
                {
                    p[px] = py;
                    d[px] = d[y] + 1 - d[x];
                }
            }
        }
    }
    
    printf("%d\n", res);
}

t == 1 的前提下，将两个并查集合并之后的d[px]的距离怎么算呢？，因为t == 1(条件),所以他们两个分别模3的余数应该是一样的，下面这种是另外一种判断是否余数相同的写法，效果是差不多的image.png t == 2的前提下，将两个并查集合并之后的d[px]的距离怎么算呢？ image.png

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