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题目

334.递增的三元子序列

题目大意

给你一个整数数组$nums$ ，判断这个数组中是否存在长度为$3$的递增子序列。

如果存在这样的三元组下标$(i, j, k)$且满足$i < j < k$，使得 $nums[i] < nums[j] < nums[k]$ ，返回 $true$ ；否则，返回 $false$ 。

样例

数据规模

思路1

考虑比较容易想到的做法：

假如数组大小小于3，直接返回$false$。

每次考虑将数字$nums[i]$作为三元序列的中间数，那么就需要考虑数组$[0,i-1]$是否存在一个数字小于$nums[i]$，这个很容易做到：在顺序遍历数组的时候维护一个minn表示$[0,i-1]$之前的最小数。然后还需要考虑数组$[i+1,n-1](n= 数组大小)$之前存在一个数字大于nums[i]，这个就没办法像刚才维护minn一样维护maxx，并且是从0到n-1进行遍历，意味着维护的数字的数量在不断减少，意味着最大值也可能发生不同的变化。考虑简单的做法：维护一个multiset，在遍历的时候每次弹出一个等于$nums[i]$的数字，相当于$nums[i]$从multiset中删除（因为一开始multiset是加入了数组$[1,n-1]$的所有数字），然后二分查找是否存在一个数字大于$nums[i]$，如果不存在，返回的迭代器就是multiset.end()。这样就可以通过维护minn和multiset来寻找一个三元子序列。（时间复杂度$O(nlogn)$）

代码1

class Solution {
public:
    bool increasingTriplet(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        if(n<3)return 0;
        multiset<int>s1,s2;
        for(int i=n-1;i>=1;i--)s2.insert(nums[i]);
        int minn=nums[0];
        for(int i=1;i<n-1;i++){
            s2.erase(s2.find(nums[i]));
            auto it2=s2.upper_bound(nums[i]);
            if(minn<nums[i]&&it2!=s2.end())return 1;
            minn=min(minn,nums[i]);
        }
        return 0;
    }
};

思路2

使用贪心的方法将空间复杂度降到$O(1)$。从左到右遍历数组$nums$，维护两个变量minn1和minn2，分别作为三元子序列的第一个数字和第二个数字，并且保证$first<second$（出现顺序&数字大小都是如此）。

初始：$first=nums[0]，second=inf$。

当遍历到$nums[i]$时，有如下操作：

• 如果$nums[i]>second$，说明找到了一个递增的三元子序列，返回$true$;
• 如果$nums[i]<=second ，nums[i]>first$ ，那么更新$second=nums[i]$；
• 否则更新$first=nums[i]$;

如果遍历结束时没有找到递增的三元子序列，返回$false$。

需要递增的三元子序列的过程要求：$first$和$second$应该尽可能地小，这样找到递增的三元子序列的可能性更大。

要求$first<second$（出现顺序&数字大小都是如此），所以遇到$nums[i]>second$，此时first一定出现在second前面，所以$(first,second,nums[i])$一定是递增的三元子序列。

考虑一个比较问题：如果遍历过程中遇到小于$first$的元素，则会用该元素更新$first$，这导致了first顺序在second之后，是否会出现误判？

不会。虽然更新后的$first$出现在$second$的后面，但是second之前必然有一个比second小的数字$first'$，如果突然遇到了$nums[i]>second$，那么一定有递增三元序列$(first',second,nums[i])$。

代码2

class Solution {
public:
    bool increasingTriplet(vector<int>& nums) {
        int minn1=nums[0],minn2=(1ll<<31)-1;
        for(int i=1;i<nums.size();i++){
            if(nums[i]>minn2)return 1;
            else if(nums[i]>minn1)minn2=nums[i];
            else minn1=nums[i];
        }
        return 0;
    }
};