力扣每日一题0411-357. 统计各位数字都不同的数字个数

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给你一个整数 n ，统计并返回各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 0 <= x < 10n 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：91
解释：答案应为除去 11、22、33、44、55、66、77、88、99 外，在 0 ≤ x < 100 范围内的所有数字。

示例 2：

输入：n = 0
输出：1

提示：

• 0 <= n <= 8

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排列组合

首先考虑两种边界情况：

• 当 $n = 0$ 时，$0 \le x \lt 1$ ，$x$ 只有 $1$ 种选择，即 $0$。
• 当 $n = 1$ 时，$0 \le x \lt 10$ ，$x$ 有 $10$ 种选择，即 $0 \sim 9$ 。

当 $n = 2$ 时，$0 \le x \lt 100$，$x$ 的选择可以由两部分构成：只有一位数的 $x$ 和有两位数的 $x$。只有一位数的 $x$ 可以由上述的边界情况计算。有两位数的 $x$ 可以由组合数学进行计算：第一位的选择有 $9$ 种，即 $1 \sim 9$，第二位的选择也有 $9$ 种，即 $0 \sim 9$ 中除去第一位的选择。

更一般地，含有 $d$ $(2 \le d \le 10）$位数的各位数字都不同的数字 $x$ 的个数可以由公式 $9 \times A_9^{d-1}$ 计算。再加上含有小于 $d$ 位数的各位数字都不同的数字 $x$ 的个数，即可得到答案。

var countNumbersWithUniqueDigits = function(n) {
    if (n === 0) {
        return 1;
    }
    if (n === 1) {
        return 10;
    }
    let res = 10, cur = 9;
    for (let i = 0; i < n - 1; i++) {
        cur *= 9 - i;
        res += cur;
    }
    return res;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。仅使用一个循环。
• 空间复杂度：$O(1)$。仅使用常数空间。

动态规划

n=0，数字有{0}1个。

n=1，数字有{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}10个。

n=2，数字包括两部分之和，一部分为n=1的所有10个答案，另一部分为长度为2的新增数字。长度为2的新增数字可以在n=1的所有9个数字基础上进行拼接（0不能算）。例如：

从n=1的数字列表{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中随便取出一个除0以外的数字（因为0不能作为起始数字！），我们取2好了。通过在2的尾巴处拼接一位数字可以得到新的合法数字有：

{20， 21，23，24，25，26，27，28，29}，

可以看到，除了不能在尾巴处拼接一个2（两个连续的2就非法了！），0-9种一共有9个数字可以拿来拼接在尾巴处。新增答案为9个。同理，对于n=1数字列表{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中的其他任意非0数也可以进行拼接操作，一共可以新增9*9个答案。

最终，n=2的合法数字，n=1时的答案 + 长度为2的数字个数（9*9个）= 10 + 81 = 91。

n=3时同理，只不过此时可以用拼接的数字减少为了8个，此时答案为10 + 9 * 9 + 9 * 9 * 8 = 739。

n=4时同理，只不过此时可以用拼接的数字减少为了7个，此时答案为10 + 9 * 9 + 9 * 9 * 8 + 9 * 9 * 8 * 7 = 5275。

通过归纳不难得到，假设 dp[i] 即 n = i时的答案，则动态转移方程为：

dp[i] = dp[i-1] + (dp[i-1] - dp[i-2])*(10-(i-1))

转移的初始条件为dp[0] = 1、dp[1] = 10

var countNumbersWithUniqueDigits = function(n) {
	let dp = [];
	dp[0] = 0;
	dp[1] = 10;
	dp[2] = 9*9+dp[1];
	let temp =  9 * 9 ;
	for(let i = 3; i <= n; i++ ) {
		dp[i] = temp * (9-i+2) + dp[i-1];
		temp = (9-i+2) * temp;
	}
	return dp[n];
}