【C/C++】357. 统计各位数字都不同的数字个数

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题目链接：357. 统计各位数字都不同的数字个数

题目描述

给你一个整数 n ，统计并返回各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 $0 \leqslant x < 10^n$ 。

提示：

• 0 <= n <= 8

示例 1：

输入：n = 2
输出：91
解释：答案应为除去 11、22、33、44、55、66、77、88、99 外，在 0 ≤ x < 100 范围内的所有数字。

示例 2：

输入：n = 0
输出：1

题意整理

这里题目中的 n 没有表述很清楚，我们可以结合题意和样例了解到这里的 n 表示数字最多有 n 位。所以题意就是当数字不超过 n 位时， 各位数字都不相同 的数字有多少个。

解题思路分析

我们根据题目给定的 n 可以确定数字的范围，如 n = 2 时，数字的范围为 $0 \leqslant x < 100$ ，注意这里不包含 $100$。首先考虑边界特殊情况，这里题目 示例2 给出了边界 n = 0 的情况答案为 1，此时我们还需考虑 n = 1 的情况，因为考虑到数字不能有前导零，但是当数字只有一位的时候有 0 存在，所以考虑特殊情况 n = 1 的时候，只有一位，没有其他位数字的存在，$0 \sim 9$ 都是符合要求的答案，即输出 10 ，然后考虑 n = 2 的时候，第一位不能是 0 所以第一位有 9 种数字可以选 （$1 \sim 9$），那么第二位数字为了不与第一位数字相同，只能在剩下的数字中选取，但是注意第二位可以选择数字 0，所以第二位有 9 种数字可以选取，那么由排列组合和乘法原理，我们得知当数字为 2 位时总共有 9 * 9 = 81 个数字的各位数字都不相同，那么加上数字为 1 位时的数字个数总共就有 10 + 81 = 91 种。到这里我们可以得到一般规律，含有 $d （2 \le d \le 10）$位数的各位数字都不同的数字 x 的个数可以由公式 $9 \times A_9^{d-1}$ 计算。再加上含有小于 d 位数的各位数字都不同的数字 x 的个数，即可得到答案。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，仅使用一个循环。
• 空间复杂度：$O(1)$，仅使用常数空间。

具体实现

1. 首先特判处理边界和特殊情况：
   • 当 n = 0 时，$0 \leqslant x \lt 1$，x 只有 $1$ 种选择，即 $0$。
   • 当 n = 1 时，$0 \leqslant x \lt 10$，x 有 $10$ 种选择，即 $0 \sim 9$。
2. 有两位数的 x 可以由组合数学进行计算：第一位的选择有 $9$ 种，即 $1 \sim 9$，第二位的选择也有 $9$ 种，即 $0 \sim 9$ 中除去第一位的选择。
3. 含有 $d （2 \le d \le 10）$位数的各位数字都不同的数字 x 的个数可以由公式 $9 \times A_9^{d-1}$ 计算。再加上含有小于 d 位数的各位数字都不同的数字 x 的个数，即可得到答案。

代码实现

class Solution {
public:
    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        //边界(0)和特殊情况(1)的处理
        if (n == 0) return 1;
        if (n == 1) return 10;
        //答案总数包含n = 1的10种，当前可以选择的数字种数cur为9
        int ans = 10, cur = 9;
        //剩下的n - 1位数字
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            //减去前面的位数，剩下的就是可以选择的种数
            cur *= 9 - i;
            //答案加上当前位数的[各位数字都不同]的数字个数
            ans += cur;
        }
        return ans;
    }
};

总结

该题因数据非常小，还可以通过打表的方式将所有 n 对应的答案输出即可（switch(n)）；包括递归和动态规划都是可以的方法。

该题还有进阶版本——题目链接：1012. 至少有 1 位重复的数字

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结束语

人生，其实是很公平的。在哪里付出，就在哪里得到；在哪里打磨，就在哪里闪耀。时光不负有心人，等你埋头走了很长的路，抬头时就可以看见满天星辰。愿你怀揣期许，努力向上。