leetcode-统计各位数字都不同的数字个数

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题目描述

给你一个整数 n ，统计并返回各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 0 <= x < $10^n$ 。

示例 1：
输入：n = 2
输出：91
解释：答案应为除去 11、22、33、44、55、66、77、88、99 外，在 0 ≤ x < 100 范围内的所有数字。

示例 2：
输入：n = 0
输出：1

提示：
0 <= n <= 8

思路

根据题意，满足 0 <= x < $10^n$ ，其实就是X从0开始取自然数，直到最大的n位数。例如n=3，就是x要满足0 <= x < 999。显然，我们可以对不同长度的自然数分开计算，然后再累加起来。这样，这里整体是可以递归的，我们要求解f(n)，如果f(n-1)是已知的，我们可以写出递推公式

f(n) = f(n-1) + n位自然数满足各位数字都不同的数字的数字数量

那么问题就简化成了，如何求解“n位自然数满足各位数字都不同的数字的数字数量”。这里我们可以通过排列的数量来求解。

• 对于最高位，不能为0，包含9种可能(1~9)
• 左起第2位，本来有10种可能(0~9)，排除最高位的数，这里还有9种可能
• 左起第3位，本来有10种可能(0~9)，排除最高位的数和左起第2位，这里还有8种可能
• 左起第4位，本来有10种可能(0~9)，排除前3位使用的数，这里还有7种可能 以此类推。。。

这里有注意点是n=0和n=1这2个边界的情况，我们先讨论掉：

• n=0 0 <= x < 1，此时x只能等于0，所以这里只有1个数满足条件
  
• n=1 0 <= x < 10，此时最高位也是最低位，所以是可以等于0的，跟上面说的最高位不能为0不同，这里有10个数满足条件
  去掉边界情况后，我们再按照上面的思路做递归即可。
  

Java版本代码

class Solution {
    public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        if (n == 1) {
            return 10;
        }
        int ans = 9*9;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            ans *= (10 - i);
        }
        return ans + countNumbersWithUniqueDigits(n-1);
    }
}