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时态逻辑分为线性时态逻辑和分叉时态逻辑，分叉时态逻辑里面有一种逻辑叫做计算树逻辑

线性时态逻辑（Linear temporal logic，简称LTL）

线性时间属性（LT property）

一个线性时间属性是在AP上的一组无限路径，我们通常很难直接指出这些属性是什么，但我们可以使用逻辑简洁地指定这些属性的规律，先让我们来看一下直接指出互斥现象和饥饿自由在每个时刻的方法：
- 在 $AP=\{c_1,c_2\}$ 上指定互斥现象的方法：
  - $P_{mutex}=A_0A_1A_2\cdots$ （无限字），且对于 $0\leq i$ 有 $\{c_1,c_2\}\nsubseteq A_i$
- 在 $AP=\{c_1,w_1,c_2,w_2\}$ 上指定饥饿自由的方法：
  - $P_{nostarve}=A_0A_1A_2\cdots$ （无限字），且 $(\overset{\infty}{\exists } j.w_1 \in A_j)\Rightarrow (\overset{\infty}{\exists } j.c_1 \in A_j)\wedge (\overset{\infty}{\exists } j.w_2 \in A_j)\Rightarrow(\overset{\infty}{\exists } j.c_2 \in A_j)$

互斥现象：两个进程不可以同时进入临界资源

饥饿自由：当我不停的等待进入临界资源的时候，我最终可以不停的进入临界资源

LTL的作用：描述LT特性的逻辑，但又不给出具体的时刻，只有时间的相对特性

LTL的语法

命题逻辑：描述系统在某一时刻的静态行为，LTL中最常用的是以下三种：
- 原子命题： $a \in AP$
- 否定律： $\neg \phi$
- 结合律： $\phi \wedge \psi$
时态算子：描述系统在轨迹下所具有的性质，最基本的有以下两种：
- 下一时刻满足 $\phi$ ： $\bigcirc \phi$ ，读作next
- 每一时刻一直满足 $\phi$ 直到 $\psi$ ： $\phi \bigcup \psi$ ，读作until
由命题逻辑和时态算子派生出的算子：
- $\phi \vee \psi \equiv \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi)$
- $\phi \Rightarrow \psi \equiv \neg \phi \vee \psi$
- $\phi \Leftrightarrow \psi \equiv (\phi \Rightarrow \psi) \wedge (\psi \Rightarrow \phi)$
- $\phi \bigoplus \psi \equiv (\phi \wedge \neg \psi) \wedge (\neg \phi \wedge \psi)$
- $true \equiv \phi \vee \psi$
- $false \equiv \neg true$
- $\Diamond \phi \equiv true \ U \phi$
  
  $\Diamond$ 读作eventually，表示在未来某刻会满足 $\phi$
- $\Box \phi \equiv \neg \Diamond \neg \phi$
  
  $\Box$ 读作always，表示在此时起开始会一直满足 $\phi$
这些算子是有优先级的， $\neg,\bigcirc$ 优先执行，其次是 $\bigcup$ ，然后是 $\vee,\wedge$ ，最后是 $\to$
对算子的直观解释：

在一条轨迹上，如果从某时刻起，每个时刻只满足 $b$ ，即便没出现过 $a$ ，那么该时刻也满足 $a \bigcup b$
此时，让我们用LTL语言表达互斥现象和饥饿自由在每个时刻的逻辑：
- 互斥现象： $\Box \neg(c_1 \wedge c_2)$
- 饥饿自由： $(\Box \Diamond w_1 \Rightarrow \Box \Diamond c_1) \wedge (\Box \Diamond w_2\Rightarrow \Box \Diamond c_2)$
$\Box \Diamond w_1$ 理解方法：先看最外层，把 $\Diamond w_1$ 看作一个 $\phi$ ，则 $\Box \phi$ 表示在此时起开始会一直满足 $\phi$ ；再看内层 $\Diamond w_1$ ，表示无限经常次满足 $w_1$ ；因此，加起来表示，在此时起开始会一直无限经常次满足 $w_1$

LTL的语义

由LTL公式 $\varphi$ 在AP上引起的LT性质为： $Words(\varphi)=\{\sigma \in (2^{AP})^\omega |\sigma \vDash \varphi \}$ ，其中 $\sigma$ 是一个轨迹， $\sigma=A_0A_1A_2\cdots$ ，由这个LT性质可以推出如下性质：
- $\sigma \vDash true$ ，表示路径 $\sigma$ 一定有一条正确的路径
- $\sigma \vDash a,iff \ a\in A_0(i.e.,A_0 \vDash a)$ ，表示当且仅当 $a$ 是状态集合 $A_0$ 当中的一种可能时，路径 $\sigma$ 中包含 $a$
  
  $A_0$ 包含了初始状态所有的可能， $a$ 只是其中的一种
- $\sigma \vDash \varphi_1 \wedge \varphi,iff \ \sigma \vDash \varphi_1 \ and \ \sigma \vDash \varphi_2$ ，表示如果路径 $\sigma$ 中包含了状态 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ ，那么 $\sigma$ 包含 $\varphi_1 \wedge \varphi_2$
  
  $i.e.$ 表示“也就是”
- $\sigma \vDash \neg \varphi,iff \ \sigma \nvDash \varphi$
- $\sigma \vDash \bigcirc \varphi,iff \ \sigma[i..]=A_1A_2A_3\cdots\vDash \varphi$
  
  $\sigma[i..]=A_iA_{i+1}A_{i+2}\cdots$ ，表示从索引 $i$ 开始后的 $\sigma$ 的后缀
- $\sigma \vDash \Diamond \varphi,iff \ \exists j \geqslant 0.\sigma [j..]\vDash \varphi$
- $\sigma \vDash \Box \varphi,iff \ \forall j \geqslant 0.\sigma [j..]\vDash \varphi$
- $\sigma \vDash \Box\Diamond \varphi,iff \ \forall j \geqslant 0.\exists \geqslant \sigma [i..]\vDash \varphi$
- $\sigma \vDash \Diamond\Box \varphi,iff \ \exists j \geqslant 0.\forall \geqslant \sigma [i..]\vDash \varphi$
范例：根据上图，我们可以推出这个TS的四个性质：
- 从初始状态开始，每一个状态都满足 $a$ ，即 $TS \vDash \Box a$
- 从初始状态开始，每一个状态都满足，如果该状态不满足 $b$ ，则该状态满足 $a \wedge \neg b$ ，即 $TS \vDash \Box (\neg b \Rightarrow \Box(a \wedge \neg b))$
- 从左边的初始状态 $s_1$ 开始，下一个状态可以同时满足 $a$ 和 $b$ ，但从右边的初始状态开始， $s_3$ 的下个状态还是 $s_3$ ， $s_3$ 并不能同时满足 $a$ 和 $b$ ，因此 $TS \nvDash \bigcirc (a \wedge b)$
- 从左边的初始状态 $s_1$ 开始，每一个状态都满足 $b$ ，直到满足 $a \wedge \neg b$ 时，不再满足 $b$ ，但从右边的初始状态开始，并不满足，因此 $TS \nvDash b \bigcup(a \wedge \neg b)$

用LTL表示我们常见的性质

可达性（Reachability）
- 简单的可达性（simple reachability）： $\Diamond \psi$
- 多条件的可达性（conditional reachability）： $\phi \bigcup \psi$
TS系统可以既不满足 $\Diamond a$ 也不满足 $\neg \Diamond a$ ：
安全性（Safety）：
- 不变性（invariant）： $\Box \phi$
活性（Liveness）： $\Box(\phi \Rightarrow \Diamond \psi) and \ others$
公平性（Fairness）： $\Box \Diamond \phi \ and \ others$
等价性（Equivalence）：如果 $Words(\phi)=Words(\psi)$ ，那么 $\phi$ 和 $\psi$ 等价，表示为 $\phi \equiv\psi$
对偶性定律（Duality law）：
- $\neg \Box \phi \equiv \Diamond \neg \phi$
- $\neg \Diamond \phi \equiv \Box \neg \phi$
- $\neg \bigcirc \phi \equiv \bigcirc \neg \phi$
对偶性定律（Idempotency law）：
- $\Box \Box \phi \equiv \Box \phi$
- $\Diamond \Diamond \phi \equiv \Diamond \phi$
- $\phi \bigcup ( \phi \bigcup \psi) \equiv \phi \bigcup \psi$
- $(\phi \bigcup \psi) \bigcup \psi \equiv \phi \bigcup \psi$
吸收律（Absorption law）：
- $\Diamond \Box \Diamond \phi \equiv \Box \Diamond \phi$
- $\Box \Diamond \Box \phi \equiv \Diamond \Box \phi$
分布律（Distribution law）：
- $\bigcirc(\phi \bigcup \psi) \equiv (\bigcirc \phi) \bigcup (\bigcirc \psi)$
- $\Diamond(\phi \vee\psi) \equiv \Diamond \phi \vee \Diamond \psi$
- $\Box(\phi \wedge \psi) \equiv \Box \phi \wedge \Box \psi$
注意：
- $\Diamond(\phi \bigcup \psi) \not\equiv (\Diamond\phi) \bigcup (\Diamond\psi)$
- $\Diamond(\phi \wedge \psi) \not\equiv \Diamond\phi \wedge \Diamond\psi$
- $\Box(\phi \vee \psi) \not\equiv \Box \phi \vee \Box \psi$
- 下面的这个例子说明了 $\Diamond(a \wedge b) \not\equiv \Diamond a \wedge \Diamond b$ ： $TS\nvDash \Diamond(a \wedge b)$ ，但 $TS\vDash \Diamond a \wedge \Diamond b)$
扩展律（Expansion laws）：
- $\phi \bigcup \psi \equiv \psi \vee ( \phi \wedge \bigcirc ( \phi \bigcup \psi))$
- $\Diamond \phi \equiv \phi \vee \bigcirc \Diamond \phi))$
- $\Box \phi \equiv \phi \wedge \bigcirc \Box \phi))$

在这篇文章里有对这几个特性的详尽介绍：blog.csdn.net/qq_37400312…

公平性（Fairness）

定义：一条路径执行过程中所有过程均符合实际情况，则表示这个路径具有了公平性。
- 对于不满足公平性的路径，可以将不合实际的情况过程剔除，路径便具有了公平性。
- 无饥饿性通常是在公平性的条件下产生的。
- 公平性通常是建立活性问题的必要手段。
生活实例：
- 对于十字路口的两个红绿灯进程进程交错执行： $TS = TrLight_1||TrLight_2$ ，给定一个活性性质的自然语言描述为：每个红绿灯都无限经常次处于绿灯的状态。这条性质表示红绿灯在无限次状态转化的过程中，会有无限次处于绿灯的状态。
  - 轨迹： $\{red_1,red_2\},\{green_1,red_2\},\{red_1,green_2\},\{green_1,red_2\}\cdots$ ，像这样的轨迹，满足刚才我们所说的活性，那么这条轨迹也具有安全性。
  - 轨迹： $\{red_1,red_2\},\{green_1,red_2\},\{red_1,red_2\},\{green_1,red_2\}\cdots$ ，像这样的轨迹，第二个红绿灯永远为红色，不满足刚才我们所说的活性，那么这条轨迹不具有安全性。

公平性约束（Fairness constraints）

解释：一个程序，有一些路径永远不会执行，那么，不管这些路径执行后是正确还是错误，我们都不需要去验证它，所以我们在验证的过程中，需要加上一些约束，来避免我们去验证一些永远不会走的路径，这个约束，我们称之为公平性约束
基于动作的公平性用A-fair表示，有三种情况：无条件公平性、强公平性、弱公平性
- 对于一个没有初始状态的 $TS = (S,Act,\to,I,AP,L)$
  - 无初始状态
  - $A \subseteq Act$
  - 无限执行片段 $\rho = s_0 \overset{\alpha_0}{\rightarrow} s_1 \overset{\alpha_1}{\rightarrow} s_2\cdots$
- 无条件公平性约束（Unconditional A-fair）：若轨迹满足无条件公平性约束，则 $A$ 中存在的一个或多个动作可以无限经常次执行。
  - 解释：当 $\rho$ 是一个无条件公平性路径时，对于 $A$ 中的动作在这条路径上无限经常此执行，比如 $A=\{ \omega \} \subseteq Act\{ NC,W,C \},\rho=s_0 \overset{NC}{\rightarrow}s_1\overset{W}{\rightarrow}s_2\overset{C}{\rightarrow}s_3\overset{NC}{\rightarrow}\cdots s_n\overset{NC}{\rightarrow}\cdots s_m \overset{NC}{\rightarrow}\cdots$ ，动作 $NC$ 在路径上经常次执行，这个路径就叫做无条件公平路径
  - 公式： $true \Rightarrow \forall k \geqslant 0,\exist j \geqslant k,\alpha_j \in A$ 对轨迹中的动作序列的任一位置 $k$ ，总能在 $k$ 上或 $k$ 后面找到一个位置 $j$ ，该位置的动作 $\alpha_j \in A$
- 强公平性（Strongly A-fair）：若轨迹满足强公平性约束，如果 $A$ 中存在的动作无限经常次想要执行，则会导致 $A$ 中存在一个或多个动作可以无限经常次执行。
  - 公式： $( \forall k \geqslant 0,\exist j \geqslant k,Act(s_j) \cap A \neq \varnothing ) \Rightarrow \forall k \geqslant 0,\exist j \geqslant k,\alpha_j \in A$ 对轨迹中的状态序列的任一位置 $k$ ，若总能在 $k$ 上或 $k$ 后面找到一个位置 $j$ ，使得状态 $s_j$ 的所有直接动作 $Act(s_j)$ 中存在 $A$ 中的动作（即 $Act(s_j) \cap A \neq \varnothing$ ，无限经常次想要执行），那么 $A$ 中一定存在无限经常次执行的动作
- 弱公平性（Weakly A-fair）：若轨迹满足弱公平性约束，如果 $A$ 中的某时刻开始，无限经常次有 $A$ 中的动作想要执行，则会导致 $A$ 中存在一个或多个动作可以无限经常次执行。
  - 公式： $( \exist k \geqslant 0,\forall j \geqslant k,Act(s_j) \cap A \neq \varnothing ) \Rightarrow \forall k \geqslant 0,\exist j \geqslant k,\alpha_j \in A$ 对轨迹中的状态序列的某一位置 $k$ ，若总能在 $k$ 上或 $k$ 后面找到一个位置 $j$ ，使得状态 $s_j$ 的所有直接动作 $Act(s_j)$ 中存在 $A$ 中的动作（即 $Act(s_j) \cap A \neq \varnothing$ ，无限经常次想要执行），那么 $A$ 中一定存在无限经常次执行的动作
  其中， $Act(s) = \{ \alpha \in Act | \exist s' \in S,s\overset{\alpha}{\rightarrow} s' \}$
- 例题一：
  - 取动作 $A=\{enter_1,enter_2 \}$ ，判断下面的红色轨迹是否满足强公平性？（红色轨迹从第2个位置开始，234位置的状态轮以闭圈的形式无限次执行）
  - 答案：
    - 在红色轨迹中，我们看到，状态 $\left \langle w_1,n_2,y=1 \right \rangle$ 无限次想要执行 $enter_1$ ，状态 $\left \langle w_1,w_2,y=1 \right \rangle$ 无限次想要执行 $enter_1$ 和 $enter_2$ ，轨迹最终的结果是无限经常次执行 $enter_2$ ，所以这个轨迹满足强公平性。
- 例题二：
  - 取动作 $A=\{req_2 \}$ ，判断下面的红色轨迹是否满足弱公平性？（红色轨迹从第1个位置开始，123位置的状态轮以闭圈的形式无限次执行）
  - 答案：
    - 在红色轨迹中，我们看到，从第一个状态开始，每一个状态都无限经常次想要执行 $req_2$ ，但 $A$ 中不存在无限经常次执行的动作，所以这个轨迹不满足弱公平性。
程序或进程在无条件公平性下终止的情况： $\begin{aligned} proc \ Inc \ =& \ while \ \left \langle x \geqslant 0 \ do \ x := x + 1 \right \rangle \ od \\ proc \ Reset \ = & \ x := −1 \end{aligned}$

$x$ 是共享变量，初始值为0
公平性对路径的约束过强或过弱
- 公平性的目的是排除“不合理”的路径，但如果我们去除了过度或者取出不足时，对验证结果会产生一定的影响。
- 约束过强（去除过度时）：
  - 总的路径 $\subseteq$ 合理的路径 $\subseteq$ 验证用的路径
  - 如果验证结果为false，则可以说明合理的路径对应的模型是有问题的
  - 如果验证的结果为true，无法说明合理的路径对应的模型是正确的
- 约束过弱（去除不足时）：
  - 总的路径 $\subseteq$ 验证用的路径 $\subseteq$ 合理的路径
  - 如果验证结果为true，则可以说明合理的路径对应的模型是正确的
  - 如果验证的结果为false，无法说明合理的路径对应的模型是错误的

关于公平性的这部分，我在另一篇文章里进行了讲解，但为了方便理解关于LTL的公平性约束问题，我有将这部分内容重新粘贴了过来，另一篇文章的链接为：blog.csdn.net/qq_37400312…

LTL的公平性约束

假设 $\phi$ 和 $\psi$ 是在AP上的命题逻辑公式，则

无条件的LTL公平性约束的形式如下： $ufair = \Box \Diamond \psi$
强LTL公平性约束的形式如下： $sfair = \Box \Diamond \phi \to \Box \Diamond \psi$ ，从此刻起每时每刻都会想要在未来某时刻想要执行 $\phi$ ，则从此刻起每时每刻都会能够在未来某时刻能够执行 $\psi$
弱LTL公平性约束的形式如下： $wfair = \Diamond \Box \phi \to \Diamond \Box \psi$ ，在未来某一时刻起会一直想要执行 $\phi$ ，则在在未来某一时刻会一直能够执行 $\psi$

$\phi$ 表示想要执行， $\psi$ 表示能够执行

LTL的公平性假设

强公平性假设： $sfair=\underset{0<i\leqslant k}{\bigcup}(\Box\Diamond \phi_i \to \Box\Diamond \psi_i)$
通用格式： $fair = ufair \wedge sfair \wedge wfair$
经验法则：强或无条件公平性假设有利于解决争议，弱的公平性足以解决由交织产生的不决定性

计算树逻辑（ Computation tree logic，简称CTL）

线性时态逻辑和分支时态逻辑

线性时态逻辑：以状态开始的（所有）路径的语句。例如:
- $s \vDash \Box(x \leqslant 20)$ ，表示从s开始的所有路径都满足 $x\leqslant 20$
分支时态逻辑：关于以一个状态开始的所有或某些路径的语句。例如:
- $s \vDash \forall \Box (x \leqslant 20)$ ，表示从s开始的所有路径都满足 $x\leqslant 20$
- $s \vDash \exists \Box (x \leqslant 20)$ ，表示从s开始存在路径满足 $x\leqslant 20$

检查LTL中是否有 $\exists \varphi$ ，可以用CTL的 $\forall \neg \varphi$ 检测

转移系统（Transition systems）到树（Trees）的转换

Transition systems：在这里插入图片描述 Trees：我们看到，这个Transition systems有着无穷无尽的路径，我们用数来表示各个路径，但没有办法将其全部表示出来，图中表示了前四次转移，虽然没有办法全部表示，但我们可以根据Transition systems来判断某条路径是否满足某性质。

状态和算子

状态上的语句：
- 原子命题： $a \in AP$
- 否定律： $\neg \phi$
- 结合律： $\phi \wedge \psi$
- 存在一条实现 $\phi$ 的路径： $\exists \phi$
- 所有路径都可以实现 $\phi$ ： $\forall \phi$
路径上的语句：
- 下一个状态满足： $\bigcirc \phi$
- $\phi$ 一直满足直到 $\psi$ 满足： $\phi \bigcup \psi$
$\bigcirc$ 和 $\bigcup$ 会与 $\exists$ 和 $\forall$ 交替使用
派生算子：
- 存在路径满足 $\phi$ ： $\exists \Diamond \phi \equiv \exists(true \bigcup \phi)$
- 所有路径满足 $\phi$ ： $\forall \Diamond \phi \equiv \forall (true \bigcup \phi)$
- 存在路径总是满足 $\phi$ ： $\exists \Box \phi \equiv \neg \forall \Diamond \neg \phi$
- 所有路径总是满足 $\phi$ ： $\forall \Box \phi \equiv \neg \exists \Diamond \neg \phi$
- 弱直到： $\exists(\phi W \psi) \equiv \neg \forall ((\phi \wedge \neg \psi)\bigcup(\neg \phi \wedge \neg \psi))$ $\forall (\phi W \psi) \equiv \neg \exists((\phi \wedge \neg \psi)\bigcup(\neg \phi \wedge \neg \psi))$

语义

语义学的可视化化

在这里插入图片描述

CTL状态公式的语义学

$s \vDash \phi$ 表示当且仅当公式 $\phi$ 在状态 $s$ 中成立

$s \vDash a$ ，在 $a$ 属于从状态 $s$ 出发的路径中的一条路径时，时成立，即 $a \in L(s)$
$s \vDash \neg \phi$ ， $iff \ \neg (s \vDash \phi)$
$s \vDash \neg \phi$ ， $iff \ (s \vDash \phi) (s \vDash \psi)$
$s \vDash \exists \phi$ ， $iff ~$ 从 $s$ 开始的一些路径 $\pi$ 满足 $\pi \vDash \phi$
$s \vDash \forall \phi$ ， $iff ~$ 从 $s$ 开始的所有路径 $\pi$ 满足 $\pi \vDash \phi$

CTL路径公式的语义学

$\pi \vDash \phi$ 表示路径 $\pi$ 满足公式 $\phi$

$\pi \vDash \bigcirc \phi iff \ \pi [1] \vDash \phi$
$\pi \vDash \phi \ \bigcup \psi \ iff \ (\exists j \geqslant 0.\pi [j] \vDash \psi \wedge \forall 0 \leqslant k <j.\pi[k]\vDash \phi)$

$\pi[i]$ 表示在路径 $\pi$ 上面的状态 $s_i$

迁移系统语义

满足CTL状态公式 $\phi$ 的集合 $Sat(\phi)$ 定义为： $Sat(\phi) =\{s \in S | s \vDash \phi \}$
当所有初始状态满足 $\phi$ 时，TS满足CTL公式： $TS \vDash \phi \ iff \ \forall_{s_0} \vDash \phi$

TS可能不满足 $\phi$ 也不满足 $\neg \phi$ ，即 $TS \nvDash \phi \ and \ TS \nvDash \neg \phi$

CTL的一些常用性质

等价性（equivalence）：如果两个CTL: $\phi$ 和 $\psi$ 的 $Sat(\phi)=Sat(\psi)$ ，则 $\phi$ 和 $\psi$ 等价，即 $\phi \equiv \psi$ $\phi \equiv \psi \ iff \ TS \vDash \phi \wedge TS \vDash \psi$
扩展律（Expansion laws）
- $\forall (\phi \bigcup \psi) \equiv \psi \vee (\phi \wedge \forall \bigcirc \forall (\phi \bigcup \psi))$
- $\forall \Diamond \phi \equiv \phi \vee \forall \bigcirc \forall \Diamond \phi$
- $\forall \Box \phi \equiv \phi \wedge \forall \bigcirc \forall \Box \phi$
- $\exists (\phi \bigcup \psi) \equiv \psi \vee (\phi \wedge \forall \bigcirc \forall (\phi \bigcup \psi))$
- $\exists \Diamond \phi \equiv \phi \vee \exists \bigcirc \exists \Diamond \phi$
- $\exists \Box \phi \equiv \phi \wedge \exists \bigcirc \exists \Box \phi$
分布律（Distributive laws）
- $\forall \Box(\phi \wedge \psi) \equiv \forall \Box \phi \wedge \forall \Box \psi$
- $\exists \Diamond (\phi \vee \psi) \equiv \exists \Diamond \phi \vee \exists \Diamond \psi$
- $\exists \Box(\phi \wedge \psi) \not\equiv \exists \Box \phi \wedge \exists \Box \psi$
- $\forall \Diamond (\phi \vee \psi) \equiv \forall \Diamond \phi \vee \forall \Diamond \psi$

【系统分析与验证笔记】 线性时态逻辑LTL和计算树逻辑CTL